「バーニングとホールのピタゴラス三角形生成行列」もどきに関しては,a^3+b^3+c^3=d^3のラマヌジャン解を考えるとよいと思われるが,ここでは,オイラー解(4パラメータ)について調べてみたい.
===================================
a=-(x^2+3y^2)^2+(z^2+3w^2)(xz+3yw+3xw-3yz),
b=(x2+3y^2)^2-(z^2+3w^2)(xz+3yw-3xw+3yz),
c=(z^2+3w^2)^2-(x^2+3y^2)(xz+3yw+3xw-3yz),
d=(z2+3w^2)^2+(x^2+3y^2)(xz+3yw+3xw-3yz)
A=(x^2+3y^2)
B=(z^2+3w^2)
C=(xz+3yw+3xw-3yz)とおく.
a=-A^2+BC,
b=A^2+BC,
c=B^2-AC,
d=B^2+AC
誤植があると思われたが,計算を続行する.
a^3=-A^6+3A^4BC-3A^2B^2C^2+B^3C^3
b^3=A^6+3A^4BC+3A^2B^2C^2+B^3C^3
c^3=B^6-3B^4AC+3A^2B^2C^2-A^3C^3
d^3=B^6+3B^4AC+3A^2B^2C^2+A^3C^3
a^3+b^3=6A^4BC+2B^3C^3
d^3-c^3=6B^4AC+2A^3C^3
3AB(A^3-B^3)=(A^3-B^3)C^2
3(x^2+3y^2)(z^2+3w^2)=(xz+3yw+3xw-3yz)^2
左辺=3x^2z^2+9x^2w^2+9y^2z^2+27y^2w^2
右辺=x^2z^2+6xz(yw+xw-yz)+9(yw+xw-yz)^2
=x^2z^2+6xyzw+6x^2zw-6xyz^2+9y^2w^2+9x^2w^2+9y^2z^2+18xyw^2-18xyzw-18y^2zw
=x^2z^2+9y^2w^2+9x^2w^2+9y^2z^2
-12xyzw+6x^2zw-6xyz^2+18xyw^2-18y^2zw
合致しない.
===================================