■パラメータ解? (その80)

 「バーニングとホールのピタゴラス三角形生成行列」もどきに関しては,a^3+b^3+c^3=d^3のラマヌジャン解を考えるとよいと思われるが,ここでは,オイラー解(4パラメータ)について調べてみたい.

===================================

a=-(x^2+3y^2)^2+(z^2+3w^2)(xz+3yw+3xw-3yz),

b=(x2+3y^2)^2-(z^2+3w^2)(xz+3yw-3xw+3yz),

c=(z^2+3w^2)^2-(x^2+3y^2)(xz+3yw+3xw-3yz),

d=(z2+3w^2)^2+(x^2+3y^2)(xz+3yw+3xw-3yz)

A=(x^2+3y^2)

B=(z^2+3w^2)

C=(xz+3yw+3xw-3yz)とおく.

a=-A^2+BC,

b=A^2+BC,

c=B^2-AC,

d=B^2+AC

誤植があると思われたが,計算を続行する.

a^3=-A^6+3A^4BC-3A^2B^2C^2+B^3C^3

b^3=A^6+3A^4BC+3A^2B^2C^2+B^3C^3

c^3=B^6-3B^4AC+3A^2B^2C^2-A^3C^3

d^3=B^6+3B^4AC+3A^2B^2C^2+A^3C^3

a^3+b^3=6A^4BC+2B^3C^3

d^3-c^3=6B^4AC+2A^3C^3

3AB(A^3-B^3)=(A^3-B^3)C^2

3(x^2+3y^2)(z^2+3w^2)=(xz+3yw+3xw-3yz)^2

左辺=3x^2z^2+9x^2w^2+9y^2z^2+27y^2w^2

右辺=x^2z^2+6xz(yw+xw-yz)+9(yw+xw-yz)^2

=x^2z^2+6xyzw+6x^2zw-6xyz^2+9y^2w^2+9x^2w^2+9y^2z^2+18xyw^2-18xyzw-18y^2zw

=x^2z^2+9y^2w^2+9x^2w^2+9y^2z^2

-12xyzw+6x^2zw-6xyz^2+18xyw^2-18y^2zw

合致しない.

===================================