不定方程式ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3の一般解としては，

【１】オイラー解（４パラメータ）

ａ＝−（ｘ^2＋３ｙ^2）^2＋（ｚ^2＋３ｗ^2）（ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ−３ｙｚ），

ｂ＝（ｘ2＋３ｙ^2）^2−（ｚ^2＋３ｗ^2）（ｘｚ＋３ｙｗ−３ｘｗ＋３ｙｚ），

ｃ＝（ｚ^2＋３ｗ^2）^2−（ｘ^2＋３ｙ^2）（ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ−３ｙｚ），

ｄ＝（ｚ2＋３ｗ^2）^2＋（ｘ^2＋３ｙ^2）（ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ−３ｙｚ）

【２】ラマヌジャン解（２パラメータ）

ａ＝３ｍ^2＋５ｍｎ−５ｎ^2 ，

ｂ＝４ｍ^2−４ｍｎ＋６ｎ^2 ，

ｃ＝５ｍ^2−５ｍｎ−３ｎ^2 ，

ｄ＝６ｍ^2−４ｍｎ＋４ｎ^2

が知られている．

　これらに対する「バーニングとホールのピタゴラス三角形生成行列」もどきがあればよいのであるが，

　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3

ではなく，

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｄ^2

を考えるべきなのかもしれない．

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【１】ファウルハーバーの定理

　ファウルハーバーの定理は，ピタゴラスの定理の拡張である．

　各辺（ａ，ｂ，ｃ）と空間対角線ｄの直方体では

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｄ^2

が成り立つが，ファウルハーバーは直角三角形の辺の長さの２乗を，直角三角錐の面の面積の２乗に拡張した．

　辺（ｐ，ｑ，ｒ）が１点において直交する四面体において，３つの面の面積をＡ，Ｂ，Ｃ，斜面の面積をＤとすると

　　Ａ^2＋Ｂ^2＋Ｃ^2＝Ｄ^2

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（証明）斜面の辺の長さを（ａ，ｂ，ｃ）とすると

　　ａ^2＝ｑ^2＋ｒ^2

　　ｂ^2＝ｒ^2＋ｐ^2

　　ｃ^2＝ｐ^2＋ｒ^2

　また，３面の面積は

　　ｑｒ／２＝Ａ

　　ｒｐ／２＝Ｂ

　　ｐｑ／２＝Ｃ

さらみ斜面の三角形の高さをｈとおくと

　　Ｄ＝ａｈ／２

　　ｈ^2＝ｋ^2＋ｐ^2，ａｋ／２＝Ａ

　以上より，

　　４Ｄ^2＝ａ^2ｈ^2＝ａ^2（ｋ^2＋ｐ^2）＝４Ａ^2＋ａ^2ｐ^2

＝４Ａ^2＋（ｑ^2＋ｒ^2）ｐ^2

＝４Ａ^2＋ｒ^2ｐ^2＋ｐ^2ｑ^2

＝４Ａ^2＋４Ｂ^2＋４Ｃ^2

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