カーマイケル数の最初の７個は

　　５９１，１１０５，１７２９，２４６５，２８２１，６６０１，８９１１

　ラマヌジャンの数１７２９＝７・１３・１９は面白いが意外と厄介な数のようです．数学者ハーディがラマヌジャンに会いに行ったとき，タクシーナンバーが１７２９という何の変哲もない数であったと彼に伝えたところ，ラマヌジャンはそれは２つの３乗数で２通りに表せる最小の数だと答えたというエピソードは大変有名である．

　　１７２９＝１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3

　カーマイケル数が無限にあるのか否かは長く不明であったが，十分大なるｘについて＞ｘ^2/7であると解決されている．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ａ^6＝１　（ｍｏｄ７）

　ａ^12＝１　（ｍｏｄ１３）

　ａ^18＝１　（ｍｏｄ１９）

より，

　ａ^1728＝（ａ^6）^288＝１　（ｍｏｄ７）

　ａ^1728＝（ａ^12）^144＝１　（ｍｏｄ１３）

　ａ^1728＝（ａ^18）^72＝１　（ｍｏｄ１９）

　つまり

　　ａ^1728＝１　（ｍｏｄ１７２９）

　５９１，１１０５，１７２９，２４６５，２８２１，６６０１，８９１１

も同様であろう．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝