３^2＋４^2＝５^2

が成り立つことは有名であるが，次元をあけた

　３^3＋４^3＋５^3＝６^3

　１^3＋６^3＋８^3＝９^3

はあまり知られていない．また，

　３^2＋４^2＝５^2

であるが，

　３^3＋４^3＋５^3＝６^3

となることは偶然だろうか？

　不定方程式ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3を満たす自然数解は無数に存在するが，ここではその一般解について調べてみます．

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【１】オイラー解

　オイラーによれば不定方程式ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3の一般解は

ａ＝−（ｘ^2＋３ｙ^2）^2＋（ｚ^2＋３ｗ^2）（ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ−３ｙｚ），

ｂ＝（ｘ2＋３ｙ^2）^2−（ｚ^2＋３ｗ^2）（ｘｚ＋３ｙｗ−３ｘｗ＋３ｙｚ），

ｃ＝（ｚ^2＋３ｗ^2）^2−（ｘ^2＋３ｙ^2）（ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ−３ｙｚ），

ｄ＝（ｚ2＋３ｗ^2）^2＋（ｘ^2＋３ｙ^2）（ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ−３ｙｚ）

であることが知られています．３回回転対称性が意識されているのだと思われます．

>　これより，

　　３^3 ＋４^3＋５^3＝６^3，

　　１^3＋６^3＋８^3＝９^3，

　　７^3＋１４^3＋１７^3＝２０^3

などが求められます．

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【２】ラマヌジャン解

　ラマヌジャンはａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3の解を二つの文字ｍ，ｎの恒等式

ａ＝３ｍ^2＋５ｍｎ−５ｎ^2 ，

ｂ＝４ｍ^2−４ｍｎ＋６ｎ^2 ，

ｃ＝５ｍ^2−５ｍｎ−３ｎ^2 ，

ｄ＝６ｍ^2−４ｍｎ＋４ｎ^2

として与えています．

　３^3 ＋４^3＋５^3＝６^3

を意識したものと思われますが，

　３^2＋４^2＝５^2

　３^3＋４^3＋５^3＝６^3

となることは偶然とは思われないのです．

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