各素数ｐごとに，通常の絶対値の代わりに「ｐ進絶対値」を考える．そこから定義される「ｐ進距離」を用いて有理数集合Ｑを完備化できる．そのようにしてできる完備化を「ｐ進体」と呼び，Ｑpで表す．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ｐ進絶対値

　ｐ進絶対値はｐの何乗で割れるかを用いて定義される．ただし，ｐの高いベキで割れれば割れるほど絶対値が小さい（０に近い）と定める．０はｐのどんなに高いベキ乗でも割れるので，無限大乗で割れるとみなすことにする．

　整数ｎがｐ^ν(n)で割れるとき

　　｜ｎ｜p＝ｐ^-ν(n)

と定義する．たとえば，ｐ＝２のとき

　　ν（２）＝１，ν（３）＝０，ν（４）＝２，ν（５）＝０，

　　ν（６）＝１，ν（７）＝０，ν（８）＝３，ν（９）＝０

なので，

　　｜２｜2＝１／２，｜３｜2＝１，｜４｜2＝１／４，｜５｜2＝１，

　　｜６｜2＝１／２，｜７｜2＝１，｜８｜2＝１／８，｜９｜2＝１

　次に，整数から有理数に拡張させると

　　｜ｍ／ｎ｜p＝ｐ^ν(n)-ν(m)

で定義する．分母がｐで割れる場合は，負のベキ乗で割れるとみなす．

　　｜１／２｜2＝２，｜９／８｜2＝３

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】ｐ進絶対値と通常の絶対値との違い

［１］ｐのベキ乗の値しか取りえない（離散的）．

［２］ｐで割れれば割れるほど０に近い．たとえば，

　　｜２｜2，｜４｜2，｜８｜2，｜１６｜2，｜３２｜2，・・・は

　　１／２，１／４，１／８，１／１６，１／３２，・・・

［３］ｐ以外の素因子はｐ進絶対値に無関係，たとえば

　　｜２｜2，｜４｜2，｜８｜2，｜１６｜2，｜３２｜2，・・・の分母や分子に３，５，７などをかけても不変．

　　｜２／３｜2，｜１２｜2，｜２４｜2，｜１６／７｜2，｜９６／２５｜2，・・・は

　　１／２，１／４，１／８，１／１６，１／３２，・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝