２６から１をひくと２５（平方数）であり，２６に１を加えると２７（立方数）である．このように平方数と立方数に挟まれる数は他にはないというのが，

　　ｙ^3＝ｘ^2＋２

の正整数による唯一の解は（ｘ，ｙ）＝（５，３）であるというフェルマーの主張であった．（その２）ではこの主張が示された．

　一方，ｎ^3−４型平方数は４と１２１の２つであることをフェルマーが示したのであるが，（その３）では「４」が現れなかった．再考してみたい．

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　ｙ^3＝ｘ^2＋２＝（ｘ＋ｉ√２）（ｘ−ｉ√２）において，もし右辺が通常の整数と同様に振る舞うと考えて，公約素数をもたないと仮定してみる．すなわち，ｇｃｄ｛（ｘ＋ｉ√２），（ｘ−ｉ√２）｝＝１

　そうすれば，それらの積がｙ^3であるから，（ｘ＋ｉ√２）は立方数である．

（ｘ＋ｉ√２）＝（ａ＋ｂｉ√２）^3

　ｇｃｄ｛（ｘ＋ｉ√２），（ｘ−ｉ√２）｝＝１

となることを検証してみたい．

　｜ａ＋ｂｉ√２｜^2＝ａ^2＋２ｂ^2＝１ならばａ＝±１，ｂ＝０に限られるから，ａ＋ｂｉ√２ｉ＝±１

よって，ｙ^3＝ｘ^2＋２のときに（ｘ＋ｉ√２），（ｘ−ｉ√２）の公約数のノルムが１になることを示せば十分である．

　ｙ^3＝０，１，３　（ｍｏｄ４）

　ｘ^2＝０，１　（ｍｏｄ４）

　ｘ^2＋２＝２，３　（ｍｏｄ４）

したがって，ｙ^3＝ｘ^2＋２が成り立つためには

　ｘ^2＝１　（ｍｏｄ４）

すなわち，ｘは奇数に限られる．→（ｘ＋ｉ√２），（ｘ−ｉ√２）のノルムｘ^2＋２は奇数である．

（ｘ＋ｉ√２），（ｘ−ｉ√２）の約数はそれらの和ｉ２√２の約数でもあり，ｉ２√２のノルムは８である．一方，（ｘ＋ｉ√２），（ｘ−ｉ√２）のノルムｘ^2＋２は奇数であるから，８とｘ^2＋２の最大公約数は１．

したがって，（ｘ＋ｉ√２），（ｘ−ｉ√２）の公約数のノルムは１を割るから，公約数自身１である．

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