島田正雄さんより，バーニングとホールの定理の逆問題に関して

　・連分数を使った解法

　・図形的な解法

の二つを見つけたというメールを頂いた．

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［１］バーニングとホールの「原始ピタゴラス数を生成する行列」について検索していたら、コラム『直角三角形とピタゴラスの定理（その２）』経由で，“Ikuro's Home Page”にたどりつきました。

［２］そのコラムにもある小林吹代『ピタゴラス数を生み出す行列のはなし』（ベレ出版）が発行された時点では、バーニングとホールの定理（岐阜東高校の亀井喜久男先生が独立に発見していたそうです）の逆問題，すなわち，

「任意の原始ピタゴラス数から、三分木を逆に辿って最小の原始ピタゴラス数を見つけるアルゴリズム」は未解決だったようですが、

　・連分数を使った解法

　・図形的な解法

の二つを見つけました。

［３］どちらも「偶奇の異なる、互いに素な自然数の組」「相異なる互いに素な奇数の組」に還元してから三分木の根まで辿ってゆくわけですが、ユークリッドの互除法の変形（互いに素な二数を縦横の長さに持つ長方形から、短辺から正方形二つを取り去ってゆく操作）を行なってゆくと、一対二または一体三の長方形に至る（二つ取ったらマイナスの面積になってしまう場合は、正負を逆にする）ので、その逆操作としてＵ・Ｄ・Ａの行列が出てき ます。

［４］逆に、生成行列としては、

　・短い辺に正方形を二つ付け足す。

　・長い辺に正方形を二つ付け足す。

　・長い辺に、内側に正方形を付け足し、重なった部分を削除する。

という三つの操作があり、それがＵ・Ｄ・Ａの行列を掛けることに対応するので、原始ピタゴラス数が三分木をなすことが判ります。

［５］高校の数学の指導要綱から行列が消えてしまったので、ピタゴラス数を生み出す行列について説明するのが難しくなってしまいましたが、これだったら中学生にも説明できると思うのですが、いかがでしょうか。 （島田正雄）

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