［Ｑ］Σｎ／２^n＝１／２＋２／４＋３／８＋・・・＝？

［Ａ］２

［Ｑ］Σ１／２^n＝１／２＋１／４＋１／８＋・・・＝？

［Ａ］１

　それでは

［Ｑ］Σ１／ｎ２^n＝１／２＋１／２・４＋１／３・８＋・・・＝？

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　Σ１／ｎ２^n＜Σ１／２^n＝１

はすぐわかるが，

　　Ｓ＝Σ１／ｎ・２^n＝１／１・２＋１／２・４＋１／３・８＋・・・＋１／ｎ２^n

　　１／２・Ｓ＝　　　　　　　　　　１／１・４＋１／２・８＋１／３・８＋・・・＋１／ｎ・２^n+1

辺々差し引くと

　　１／２・Ｓ＝１／２＋（１／２−１／１）／４＋（１／３−１／２）／８＋・・・＋（１／ｎ−１／（ｎ−１））／２^n−１／ｎ２^n-1

しかし，この先が続かない．

　交代調和級数

　　１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＋（−１）^n+1１／ｎ＋・・・＝ｌｏｇ２

はよく知られている．

　それに対して，オイラーが導いた級数

Σ１／ｋ２^k＝１／１・２＋１／２・４＋１／３・８＋１／４・１６＋・・・

＝ｌｏｇ２

はあまり知られていないと思う．この公式は２進法で表したｌｏｇ２のある特定の桁（たとえば１０００兆桁目）の数字を計算するのに使える公式となっている．

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［雑感］　「岩波数学公式」の調べてみたところ，

Σ１／ｋ２^k＝ｌｏｇ２

は掲っていなかったが

Σ１／ｋ^2２^k＝π^2／１２−１／２・（ｌｏｇ２）^2

が掲っていた．

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