（その１３５）のやり直し．

1/(1^2+a^2) + 1/(2^2+ a^2) + 1/(3^2+ a^2) + 1/(4^2+

a^2) +･･･

＝-1/(2a^2) + (π/(2a))・(e^(2aπ)+1)/( e^(2aπ)-1)

＝-1/(2a^2) + (π/(2a))／ｔａｎｈ（ａπ）

＝-1/(2a^2) − (π/(2|a|))／ｔａｎ（｜ａ｜π）　　（ａが純虚数のとき）

に

ａ＝ｉ／３を代入すると

左辺＝１／（１^2−１^2／３^2）＋１／（２^2−１^2／３^2）＋１／（３^2−１^2／３^2）＋・・・

＝３／２｛｛１／（１−１／３）−１／（１＋１／３）｝＋｛１／（２−１／３）−１／（２＋１／３）｝＋｛１／（３−１／３）−１／（３＋１／３）｝＋・・・｝

＝３／２｛｛１／（２／３）−１／（４／３）｝＋｛１／（５／３）−１／（７／３）｝＋｛１／（８／３）−１／（１０／３）｝＋・・・｝

＝９／２｛｛１／２−１／４｝＋｛１／５−１／７｝＋｛１／８−１／１０｝＋・・・｝

＝９／２Σ｛１／（３ｋ−１）−１／（３ｋ＋１）｝

右辺＝９／２−（３π／２）／ｔａｎ（π／３）

Σ｛１／（３ｋ−１）−１／（３ｋ＋１）｝

＝１−（π／３）／ｔａｎ（π／３）

ａ＝２ｉ／３を代入すると

左辺＝１／（１^2−２^2／３^2）＋１／（２^2−２^2／３^2）＋１／（３^2−２^2／３^2）＋・・・

＝３／４｛｛１／（１−２／３）−１／（１＋２／３）｝＋｛１／（２−２／３）−１／（２＋２／３）｝＋｛１／（３−２／３）−１／（３＋２／３）｝＋・・・｝

＝３／４｛｛１／（１／３）−１／（５／３）｝＋｛１／（４／３）−１／（８／３）｝＋｛１／（７／３）−１／（１１／３）｝＋・・・｝

＝９／４｛｛１−１／５｝＋｛１／４−１／８｝＋｛１／７−１／１１｝＋・・・｝

＝９／４Σ｛１／（３ｋ−２）−１／（３ｋ＋２）｝

右辺＝９／８−（３π／４）／ｔａｎ（２π／３）

Σ｛１／（３ｋ−２）−１／（３ｋ＋２）｝

＝１／２−（π／３）／ｔａｎ（２π／３）

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　３の倍数の項のない交代級数

Σ｛１／（３ｋ−２）−１／（３ｋ−１）＋１／（３ｋ＋１）−１／（３ｋ＋２）｝

＝１／２−（π／３）／ｔａｎ（２π／３）

−１＋（π／３）／ｔａｎ（π／３）

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