杉岡幹生氏に教えていただいた５の倍数の項のない交代級数

1-1/2+1/3-1/4+1/6-1/7+1/8-1/9+1/11-1/12+1/13-1/14+1/16-1/17+･･･

＝(π/5){√(1+2/√5)-√(1-2/√5)}

＝(π/5)√(2-2/√5)

＝(π/5)／sin(2π/5)

＝(2π/5)／2sin(2π/5)

はdiet調和級数の交代版と考えることもできるだろう．

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【１】diet調和級数の収束

　調和級数は発散しますが，分母に９が含まれている項をすべて取り除けば発散しなくなります．

　　Ｊ＝（１／１＋・・・＋１／８）＋（１／１０＋・・・１／１８＋１／２０＋・・・＋１／８８）＋（１／１００＋・・・＋１／８８８）＋・・・

において，括弧内のすべての項を括弧内の最大項に置き換えると

　　１／１＋・・・＋１／８＜１／１＋・・・１／１＜９／１

　　１／１０＋・・・１／１８＋１／２０＋・・・＋１／８８＜１／１０＋・・・１／１０＜９^2／１０

　　１／１００＋・・・＋１／８８８＜１／１００＋・・・１／１００＜９^3／１０^2

　　Ｊ＜９／１＋９^2／１０＋９^3／１０^2＋・・・＝９／（１−９／１０）＝９０

したがって，９をすべて取り除いた調和級数は収束します．同様に，取り除く数がどれであっても収束するのですが，１０％の数を取り除くと収束する・・・なにか奇異に感じられませんか？

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