［Ｑ］５の倍数の項のない交代級数

1-1/2+1/3-1/4+1/6-1/7+1/8-1/9+1/11-1/12+1/13-1/14+1/16-1/17+･･･

の値は？

［Ａ］

(π/5){√(1+2/√5)-√(1-2/√5)}

＝(π/5)√(2-2/√5)

＝(π/5)／sin(2π/5)

＝(2π/5)／2sin(2π/5)

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　杉岡幹生氏にこの結果を解説して頂くが，ここで補足しておきたい．

√（１＋２／√５）

√｛（√５＋２）／√５｝

＝√（５＋２√５／５）＝ｔａｎ３π／１０

√（１−２／√５）

√｛（√５−２）／√５｝

＝√（５−２√５／５）＝ｔａｎπ／１０

ｔａｎ３π／１０−ｔａｎπ／１０

＝｛ｓｉｎ３π／１０ｃｏｓπ／１０−ｓｉｎπ／１０ｃｏｓ３π／１０｝＊／ｃｏｓ３π／１０ｃｏｓπ／１０

＝（ｓｉｎπ／５）／ｃｏｓ３π／１０ｃｏｓπ／１０

ここで，

ｓｉｎπ／５＝ｓｉｎ２π／１０＝ｃｏｓ３π／１０

ｃｏｓπ／１０＝ｓｉｎ４π／１０＝ｓｉｎ２π／５

ｔａｎ３π／１０−ｔａｎπ／１０＝１／ｓｉｎ２π／５

√（（２−２／√５）

＝√（（２√５−２）／√５）

＝√（（１０−２√５）／５）

＝１／ｓｉｎ２π／５

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