６次元正単体の７頂点

ｖ1（＋１／２，−１／√１２，−１／√２４，−１／√４０，−１／√６０，−１／√８４）

ｖ2（−１／２，−１／√１２，−１／√２４，−１／√４０，−１／√６０，−１／√８４）

ｖ3（　　　０，＋２／√１２，−１／√２４，−１／√４０，−１／√６０，−１／√８４）

ｖ4（　　　０，　　　　　０，＋３／√２４，−１／√４０，−１／√６０，−１／√８４）

ｖ5（　　　０，　　　　　０，　　　　　０，＋４／√４０，−１／√６０，−１／√８４）

ｖ6（　　　０，　　　　　０，　　　　　０，　　　　　０，＋５／√６０，−１／√８４）

ｖ7（　　　０，　　　　　０，　　　　　０，　　　　　０，　　　　　０，，＋６／√８４）

を回転した結果をｘ軸方向に−ｓだけシフトすると

Ｐ0（１，０）

Ｐ1（ｘ1，ｙ1）

Ｐ2（ｘ2，ｙ2）

Ｐ3（ｘ3，ｙ3）

Ｐ4（ｘ3，−ｙ3）

Ｐ5（ｘ2，−ｙ2）

Ｐ6（ｘ1，−ｙ1）

ｘ1＝ｃｏｓ（ξ），ｙ1＝ｓｉｎ（ξ）

ｘ2＝ｃｏｓ（２ξ），ｙ2＝ｓｉｎ（２ξ）

ｘ3＝ｃｏｓ（３ξ），ｙ3＝ｓｉｎ（３ξ）

ｃｏｓξ＝（−１＋√７）／６，ｓｉｎξ＝｛（２８−２√７）／３６｝^1/2

ｘ1＝ｃｏｓξ，ｙ1＝ｓｉｎξ

ｘ2＝ｃｏｓ２ξ＝２・ｃｏｓ^2ξ−１＝（−１＋√７）^2／１８−１＝

＝（８−２√７）／１８−１＝（−１０−２√７）／１８

ｙ2＝ｓｉｎ２ξ＝２ｓｉｎξｃｏｓξ＝（−１＋√７）／３・｛（２８＋２√７）／３６｝^1/2

ｘ3＝ｃｏｓ３ξ＝４ｃｏｓ^3ξ−３ｃｏｓξ

＝｛（８−２√７）／３６・４−３｝ｃｏｓξ

＝｛（８−２√７）／９−２７／９｝ｃｏｓξ

＝｛（−１９−２√７）／９｝ｃｏｓξ

ｙ3＝ｓｉｎ３ξ＝−４ｓｉｎ^3ξ＋３ｓｉｎξ

＝｛−４・（２８＋２√７）／３６＋３｝ｓｉｎξ

＝｛−（２８＋２√７）／９＋２７／９｝ｓｉｎξ

＝｛（−１−２√７）／９｝ｓｉｎξ

に一致すると仮定する．

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　ｘ＝（ｘ1，ｘ1，ｘ2，ｘ2，ｘ3，ｘ3）

　ｙ＝（ｙ1，−ｙ1，ｙ2，−ｙ2，ｙ3，−ｙ3）

　ｘs＝（ｘ1＋ｓ，ｘ1＋ｓ，ｘ2＋ｓ，ｘ2＋ｓ，ｘ3＋ｓ，ｘ3＋ｓ）

とおく．

　ｖ1〜ｖ7を縦ベクトルとする．

ｖ1［＋１／２，−１／√１２，−１／√２４，−１／√４０，−１／√６０，−１／√８４］’

ｖ2［−１／２，−１／√１２，−１／√２４，−１／√４０，−１／√６０，−１／√８４］’

ｖ3［　　　０，＋２／√１２，−１／√２４，−１／√４０，−１／√６０，−１／√８４］’

ｖ4［　　　０，　　　　　０，＋３／√２４，−１／√４０，−１／√６０，−１／√８４］’

ｖ5［　　　０，　　　　　０，　　　　　０，＋４／√４０，−１／√６０，−１／√８４］’

ｖ6［　　　０，　　　　　０，　　　　　０，　　　　　０，＋５／√６０，−１／√８４］’

ｖ7［　　　０，　　　　　０，　　　　　０，　　　　　０，　　　　　０，，＋６／√８４］’

６×６行列ｖ＝［ｖ1，ｖ2，ｖ3，ｖ4，ｖ5，ｖ6］の逆行列ｖ^-1をｕとする．

ｕ＝［ｕ11，ｕ12，ｕ13，ｕ14，ｕ15，ｕ16］

　　［ｕ21，ｕ22，ｕ23，ｕ24，ｕ25，ｕ26］

　　［ｕ31，ｕ32，ｕ33，ｕ34，ｕ35，ｕ36］

　　［ｕ41，ｕ42，ｕ43，ｕ44，ｕ45，ｕ46］

　　［ｕ51，ｕ52，ｕ53，ｕ54，ｕ55，ｕ56］

　　［ｕ61，ｕ62，ｕ63，ｕ64，ｕ65，ｕ66］

未知数ｓを含む２×６行列

［ｘ1＋ｓ，ｘ1＋ｓ，ｘ2＋ｓ，ｘ2＋ｓ，ｘ3＋ｓ，ｘ3＋ｓ］

［ｙ1，　　　−ｙ1，　　ｙ2，　−ｙ2，　　ｙ3，　−ｙ3］

との積の２×６行列を

ｒ＝［ｒ11，ｒ12，ｒ13，ｒ14，ｒ15，ｒ16］

　　［ｒ21，ｒ22，ｒ23，ｒ24，ｒ25，ｒ26］

とする．

ｒ11＝）ｘ1＋ｓ）ｕ11＋（ｘ1＋ｓ）ｕ21＋（ｘ2＋ｓ）ｕ31＋（ｘ2＋ｓ）ｕ41＋（ｘ3＋ｓ）ｕ51＋（ｘ3＋ｓ）ｕ61

ｒ21＝ｙ1ｕ11−ｙ1ｕ21＋ｙ2ｕ31−ｙ2ｕ41＋ｙ3ｕ51−ｙ3ｕ61

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

ｒ1 ＝［ｒ11］＝［ｓｕｍｕ1ｓ＋ｘ・ｕ1］

　　　［ｒ12］　［ｓｕｍｕ2ｓ＋ｘ・ｕ2］

　　　［ｒ13］　［ｓｕｍｕ3ｓ＋ｘ・ｕ3］

　　　［ｒ14］　［ｓｕｍｕ4ｓ＋ｘ・ｕ4］

　　　［ｒ15］　［ｓｕｍｕ5ｓ＋ｘ・ｕ5］

　　　［ｒ16］　［ｓｕｍｕ6ｓ＋ｘ・ｕ6］

｜ｒ1｜^2＝（Σｓｕｍｕi^2）ｓ^2＋２（Σｓｕｍｕi（ｘ・ｕi））ｓ＋（Σ（ｘ・ｕi）^2）

また，｜ｒ2｜^2＝Σ（ｙ・ｕi）^2

｜ｒ1｜^2＝｜ｒ2｜^2となるｓは，２次方程式

（Σｓｕｍｕi^2）ｓ^2＋２（Σｓｕｍｕi（ｘ・ｕi））ｓ＋（Σ（ｘ・ｕi）^2−Σ（ｙ・ｕi）^2）＝０

の解である．

　２解とも直交行列の条件

　　ｒ11ｒ21＋ｒ12ｒ22＋ｒ13ｒ23＋ｒ14ｒ24＋ｒ15ｒ25＋ｒ16ｒ26＝０

　　ｒ11^2＋ｒ12^2＋ｒ13^2＋ｒ14^2＋ｒ15^2＋ｒ16^2＝ｒ21^2＋ｒ22^2＋ｒ23^2＋ｒ24^2＋ｒ25^2＋ｒ26^2

を満たしている．

　しかし，

　［ｘ4］＝［ｒ11，ｒ12，ｒ13，ｒ14，ｒ15，ｒ16］［ｖ7］

　［ｙ4］　［ｒ21，ｒ22，ｒ23，ｒ24，ｒ25，ｒ26］

（ｘ4，ｙ4）は（１，０）に移るのは一方だけである．

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