５次元正単体の６頂点

ｖ1（＋１／２，−１／√１２，−１／√２４，−１／√４０，−１／√６０）

ｖ2（−１／２，−１／√１２，−１／√２４，−１／√４０，−１／√６０）

ｖ3（　　　０，＋２／√１２，−１／√２４，−１／√４０，−１／√６０）

ｖ4（　　　０，　　　　　０，＋３／√２４，−１／√４０，−１／√６０）

ｖ5（　　　０，　　　　　０，　　　　　０，＋４／√４０，−１／√６０）

ｖ6（　　　０，　　　　　０，　　　　　０，　　　　　０，＋５／√６０）

を回転した結果をｘ軸方向に−ｓだけシフトすると

Ｐ1（ｘ1，ｙ1）

Ｐ2（ｘ2，ｙ2）

Ｐ3（ｘ3，ｙ3）

Ｐ4（ｘ3，−ｙ3）

Ｐ5（ｘ2，−ｙ2）

Ｐ6（ｘ1，−ｙ1）

ｘ1＝ｃｏｓ（ξ／２），ｙ1＝ｓｉｎ（ξ／２）

ｘ2＝ｃｏｓ（３ξ／２），ｙ2＝ｓｉｎ（３ξ／２）

ｘ3＝ｃｏｓ（５ξ／２），ｙ3＝ｓｉｎ（５ξ／２）

ｃｏｓξ＝（−４＋√２１）／１０

ｃｏｓ（ξ／２）＝｛（１＋ｃｏｓξ）／２｝^1/2＝｛（６＋√２１）／２０｝^1/2

ｓｉｎ（ξ／２）＝｛（１−ｃｏｓξ）／２｝^1/2＝｛（１４−√２１）／２０｝^1/2

ｘ1＝ｃｏｓ（ξ／２）＝｛（６＋√２１）／２０｝^1/2

ｙ1＝ｓｉｎ（ξ／２）＝｛（１４−√２１）／２０｝^1/2

ｘ2＝ｃｏｓ（３ξ／２）＝４ｃｏｓ^3（ξ／２）−３ｃｏｓ（ξ／２）

＝（６＋√２１）／２０・４｛（６＋√２１）／２０｝^1/2−３｛（６＋√２１）／２０｝^1/2

＝（６＋√２１）／５・｛（６＋√２１）／２０｝^1/2−１５／５｛（６＋√２１）／２０｝^1/2

＝（−９＋√２１）／５・｛（６＋√２１）／２０｝^1/2

ｙ2＝ｓｉｎ（３ξ／２）＝−４ｓｉｎ^3（ξ／２）＋３ｓｉｎ（ξ／２）

＝−４（１４−√２１）／２０｛（１４−√２１）／２０｝^1/2＋３｛（１４−√２１）／２０｝^1/2

＝−（１４−√２１）／５｛（１４−√２１）／２０｝^1/2＋１５／５｛（１４−√２１）／２０｝^1/2

＝（１＋√２１）／５｛（１４−√２１）／２０｝^1/2

ｘ3＝ｃｏｓ（５ξ／２）＝１６ｃｏｓ^5（ξ／２）−２０ｃｏｓ^3（ξ／２）＋５ｃｏｓ（ξ／２）

＝｛１６｛（６＋√２１）／２０｝^2−２０｛（６＋√２１）／２０｝＋５｝ｃｏｓ（ξ／２）

＝｛１６（５７＋１２√２１）／４００−（６＋√２１）＋５｝ｃｏｓ（ξ／２）

＝｛（５７＋１２√２１）／２５−２５（６＋√２１）／２５＋１２５／２５｝ｃｏｓ（ξ／２）

＝（３２−１３√２１）／２５・｛（６＋√２１）／２０｝^1/2

ｙ3＝ｓｉｎ（５ξ／２）＝１６ｓｉｎ^5（ξ／２）−２０ｓｉｎ^3（ξ／２）＋５ｓｉｎ（ξ／２）

＝｛１６・｛（１４−√２１）／２０｝^2−２０｛（１４−√２１）／２０｝＋５｝ｓｉｎ（ξ／２）

＝｛１６・｛２１７−２８√２１）／４００−（１４−√２１）＋５｝ｓｉｎ（ξ／２）

＝｛｛２１７−２８√２１）／２５−２５（１４−√２１）／２５＋１２５／２５｝ｓｉｎ（ξ／２）

＝（−８−３√２１）／２５・ｓｉｎ（ξ／２）

に一致すると仮定する．

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　ｘ＝（ｘ1，ｘ1，ｘ2，ｘ2，ｘ3）

　ｙ＝（ｙ1，−ｙ1，ｙ2，−ｙ2，ｙ3）

　ｘs＝（ｘ1＋ｓ，ｘ1＋ｓ，ｘ2＋ｓ，ｘ2＋ｓ，ｘ3＋ｓ）

とおく．

　ｖ1〜ｖ6を縦ベクトルとする．

ｖ1［＋１／２，−１／√１２，−１／√２４，−１／√４０，−１／√６０］’

ｖ2［−１／２，−１／√１２，−１／√２４，−１／√４０，−１／√６０］’

ｖ3［　　　０，＋２／√１２，−１／√２４，−１／√４０，−１／√６０］’

ｖ4［　　　０，　　　　　０，＋３／√２４，−１／√４０，−１／√６０］’

ｖ5［　　　０，　　　　　０，　　　　　０，＋４／√４０，−１／√６０］’

ｖ6［　　　０，　　　　　０，　　　　　０，　　　　　０，＋５／√６０］’

５×５行列ｖ＝［ｖ1，ｖ2，ｖ3，ｖ4，ｖ5］の逆行列ｖ^-1をｕとする．

ｕ＝［ｕ11，ｕ12，ｕ13，ｕ14，ｕ15］

　　［ｕ21，ｕ22，ｕ23，ｕ24，ｕ25］

　　［ｕ31，ｕ32，ｕ33，ｕ34，ｕ35］

　　［ｕ41，ｕ42，ｕ43，ｕ44，ｕ45］

　　［ｕ51，ｕ52，ｕ53，ｕ54，ｕ55］

未知数ｓを含む２×５行列

［ｘ1＋ｓ，ｘ1＋ｓ，ｘ2＋ｓ，ｘ2＋ｓ，ｘ3＋ｓ］

［ｙ1，　　　−ｙ1，　　ｙ2，　−ｙ2，　　ｙ3］

との積の２×５行列を

ｒ＝［ｒ11，ｒ12，ｒ13，ｒ14，ｒ15］

　　［ｒ21，ｒ22，ｒ23，ｒ24，ｒ25］

とする．

ｒ11＝（ｘ1＋ｓ）ｕ11＋（ｘ1＋ｓ）ｕ21＋（ｘ2＋ｓ）ｕ31＋（ｘ2＋ｓ）ｕ41＋（ｘ3＋ｓ）ｕ51

ｒ21＝ｙ1ｕ11−ｙ1ｕ21＋ｙ2ｕ31−ｙ2ｕ41＋ｙ3ｕ51

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

ｒ1 ＝［ｒ11］＝［ｓｕｍｕ1ｓ＋ｘ・ｕ1］

　　　［ｒ12］　［ｓｕｍｕ2ｓ＋ｘ・ｕ2］

　　　［ｒ13］　［ｓｕｍｕ3ｓ＋ｘ・ｕ3］

　　　［ｒ14］　［ｓｕｍｕ4ｓ＋ｘ・ｕ4］

　　　［ｒ15］　［ｓｕｍｕ5ｓ＋ｘ・ｕ5］

｜ｒ1｜^2＝（Σｓｕｍｕi^2）ｓ^2＋２（Σｓｕｍｕi（ｘ・ｕi））ｓ＋（Σ（ｘ・ｕi）^2）

また，｜ｒ2｜^2＝Σ（ｙ・ｕi）^2

｜ｒ1｜^2＝｜ｒ2｜^2となるｓは，２次方程式

（Σｓｕｍｕi^2）ｓ^2＋２（Σｓｕｍｕi（ｘ・ｕi））ｓ＋（Σ（ｘ・ｕi）^2−Σ（ｙ・ｕi）^2）＝０

の解である．

　２解とも直交行列の条件

　　ｒ11ｒ21＋ｒ12ｒ22＋ｒ13ｒ23＋ｒ14ｒ24＋ｒ15ｒ25＝０

　　ｒ11^2＋ｒ12^2＋ｒ13^2＋ｒ14^2＋ｒ15^2＝ｒ21^2＋ｒ22^2＋ｒ23^2＋ｒ24^2＋ｒ25^2

を満たしている．

　しかし，

　［　ｘ3］＝［ｒ11，ｒ12，ｒ13，ｒ14，ｒ15］［ｖ6］

　［−ｙ3］　［ｒ21，ｒ22，ｒ23，ｒ24，ｒ25］

すなわち，残りの１点はｘ軸に関して対称な点（ｘ3，−ｙ3），ｙ3^2＝１−ｘ3^2に移るのは一方だけである．

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