４次元正単体の５頂点

ｖ1（＋１／２，−１／√１２，−１／√２４，−１／√４０）

ｖ2（−１／２，−１／√１２，−１／√２４，−１／√４０）

ｖ3（　　　０，＋２／√１２，−１／√２４，−１／√４０）

ｖ4（　　　０，　　　　　０，＋３／√２４，−１／√４０）

ｖ5（　　　０，　　　　　０，　　　　　０，＋４／√４０）

を回転した結果をｘ軸方向に−ｓだけシフトすると

Ｐ0（１，０）

Ｐ1（ｘ1，ｙ1）

Ｐ2（ｘ2，ｙ2）

Ｐ3（ｘ2，−ｙ2）

Ｐ4（ｘ1，−ｙ1）

ｘ1＝ｃｏｓ（ξ），ｙ1＝ｓｉｎ（ξ）

ｘ2＝ｃｏｓ（２ξ），ｙ2＝ｓｉｎ（２ξ）

ｃｏｓξ＝−１／４，ｓｉｎξ＝（√１５）／４

ｘ1＝ｃｏｓξ＝−１／４，ｙ1＝ｓｉｎξ＝（√１５）／４

ｘ2＝ｃｏｓ２ξ＝２・１／１６−１＝−７／８

ｙ2＝ｓｉｎ２ξ＝−２・１／４・（√１５）／４＝−（√１５）／８

に一致すると仮定する．

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　ｘ＝（ｘ1，ｘ1，ｘ2，ｘ2）

　ｙ＝（ｙ1，−ｙ1，ｙ2，−ｙ2）

　ｘs＝（ｘ1＋ｓ，ｘ1＋ｓ，ｘ2＋ｓ，ｘ2＋ｓ）

とおく．

　ｖ1〜ｖ5を縦ベクトルとする．

ｖ1［＋１／２，−１／√１２，−１／√２４，−１／√４０］’

ｖ2［−１／２，−１／√１２，−１／√２４，−１／√４０］’

ｖ3［　　　０，＋２／√１２，−１／√２４，−１／√４０］’

ｖ4［　　　０，　　　　　０，＋３／√２４，−１／√４０］’

ｖ5［　　　０，　　　　　０，　　　　　０，＋４／√４０］’

４×４行列ｖ＝［ｖ1，ｖ2，ｖ3，ｖ4］の逆行列ｕ＝ｖ^-1と

２×４行列［ｘ1＋ｓ，ｘ1＋ｓ，ｘ2＋ｓ，ｘ2＋ｓ］

　　　　　［ｙ1，　　　−ｙ1，　　ｙ2，　−ｙ2］

との積の２×４行列を

ｒ＝［ｒ11，ｒ12，ｒ13，ｒ14］

　　［ｒ21，ｒ22，ｒ23，ｒ24］

とする．

ｒ1 ＝［ｒ11］＝［ｓｕｍｕ1ｓ＋ｘ・ｕ1］

　　　［ｒ12］　［ｓｕｍｕ2ｓ＋ｘ・ｕ2］

　　　［ｒ13］　［ｓｕｍｕ3ｓ＋ｘ・ｕ3］

　　　［ｒ14］　［ｓｕｍｕ4ｓ＋ｘ・ｕ4］

｜ｒ1｜^2＝（Σｓｕｍｕi^2）ｓ^2＋２（Σｓｕｍｕi（ｘ・ｕi））ｓ＋（Σ（ｘ・ｕi）^2）

また，｜ｒ2｜^2＝Σ（ｙ・ｕi）^2

｜ｒ1｜^2＝｜ｒ2｜^2となるｓは，２次方程式

（Σｓｕｍｕi^2）ｓ^2＋２（Σｓｕｍｕi（ｘ・ｕi））ｓ＋（Σ（ｘ・ｕi）^2−Σ（ｙ・ｕi）^2）＝０

の解である．

　ｓ＝０．８７５，０．２５の２解とも直交行列の条件

　　ｒ11ｒ21＋ｒ12ｒ22＋ｒ13ｒ23＋ｒ14ｒ24＝０

　　ｒ11^2＋ｒ12^2＋ｒ13^2＋ｒ14^2＝ｒ21^2＋ｒ22^2＋ｒ23^2＋ｒ24^2

を満たしている．

　しかし，

　［ｘ3］＝［ｒ11，ｒ12，ｒ13，ｒ14］［ｖ5］

　［ｙ3］　［ｒ21，ｒ22，ｒ23，ｒ24］

（ｘ3，ｙ3）が（１，０）となるのはｓ＝０．２５の場合であった．

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