【１】ファン・デル・ヴェルデン予想

　ｎ次の行列で成分ａij≧０，行和＝１，列和＝１のとき，永久式の値≧ｎ！／ｎ^nである．等号はａij＝１／ｎのときのみ成立する．

　すなわち，各成分が非負で，すべての行和＝１，すべての列和＝１であるような２重確率行列Ａについて，

　　ｐｅｒＡ≧ｎ！／ｎ^n

である．

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［１］行和，列和がすべて２のｎ次（０，１）行列に対して

　　ｐｅｒＡ≦２^[n/2]

［２］行和がｒ1，ｒ2，・・・，ｒnのｎ次（０，１）行列に対して

　　ｐｅｒＡ≦Π（ｒj！）^1/rj

［３］行和，列和がすべてｒのｎ次（０，１）行列に対して

　　Ｍ（ｎ，ｋ）＝ｍａｘｐｅｒＡ，Ｍ（ｋ）＝ｌｉｍ｛Ｍ（ｎ，ｋ）｝^1/k

　　ｍ（ｎ，ｋ）＝ｍｉｎｐｅｒＡ，ｍ（ｋ）＝ｌｉｍ｛ｍ（ｎ，ｋ）｝^1/k

とおくと，

　　Ｍ（ｎ，ｋ）≧ｋ！，Ｍ（ｋ）≧｛ｋ！）^1/k

　　ｋ→∞のとき，Ｍ（ｋ）→ｋ／ｅ

　　ｍ（ｋ）≧ｋ／ｅ，

したがって，ｋ→∞のとき，（ｐｅｒＡ）^1/n→ｋ／ｅ

　　ｍ（ｎ，３）≧６（４／３）^n-3

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