「分割数」とは与えられた整数にどれだけ多くの分割があるのか（4=1+1+1+1,4=3+1）という整数の分割理論のことです．整数の分割では，3=2+1と3=1+2のように足し算の順序が違うものは同じと見なすことにします．

　たとえば，４を分割するには非増加数列で構成した５通りの方法，4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1がありますから，p(4)=5．同様にして，5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1よりp(5)=7となります．（分割を図形的に表す方法にヤング図形がある．ヤング図形は非増加な非負整数列を表現する印象的な方法である．）

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　整数ｎの分割の個数を明示的に表すのは簡単ではないが，ｎ→∞野と気の漸近挙動に関しては，ハーディー・ラマヌジャンの公式

　　ｅｘｐ（π√（２ｎ／３））／４ｎ√３・｛１＋Ｏ（１／√ｎ）｝

が成り立つ．

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　p(n)を評価する問題は数論において研究されていて，ラマヌジャンが予想した注目すべき漸近近似式

　　p(n)　〜　1/4n√(3)exp(π√(2n/3))

<P />は，１９１８年，ハーディーとラマヌジャンによって，円周法を用いて証明が与えられています．

　これはハーディーとラマヌジャンによる重要な結果のひとつですが，その後，分割関数はラーデマッハーによって修正され，完全な明示公式

　　p(n)=1/π√(2)Σk^(1/2)Ak(n)d/dn{sinh(πλn√(2/3))/λn}

　　λn=√(n-1/24)，Ak(n)には１の２４乗根が関係する

が与えられました（１９３７年）．

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