階乗１０００！と指数１０^250の比に関する整除性の問題であるが，ここでは階乗関数ｎ！，指数関数２^n，代数関数ｎ^2相互の整除性について調べてみたい．

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　階乗関数は指数関数より，指数関数は代数関数より速く増加する．

ｎ　　１　２　３　　４　　　５　　　６　　　　７　　　　　８

ｎ！　１　２　６　２４　１２０　７２０　５０４０　４０３２０

２^n　２　４　８　１６　　３２　　６４　　１２８　　　２５６

ｎ^2　１　４　９　１６　　２５　　３６　　　４９　　　　６４

［Ｑ］ｎ！／２^nが整数であるものは？

［Ａ］１からｎまでの間に２の倍数はいくつあるだろうか？

　［ｎ／２］＋［ｎ／２^2］＋［ｎ／２^3］＋・・・

しかし，

　［ｎ／２］＋［ｎ／２^2］＋［ｎ／２^3］＋・・・＝Ｎ＜ｎ

したがって，ｎ！／２^nは整数とはならない．

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［Ｑ］ｎ！／ｎ^2が整数であるものは？

［Ａ］ｎが素数の場合は整数とはならない．ｎが合成数であれば整数になる可能性があるが

ｎ　　　４　　　６　　　　　８

ｎ！　２４　７２０　４０３２０

ｎ^2　１６　　３６　　　　６４

ｎ＝４＝２^2の場合，ｎ！≧ｎ^2はクリアしてもその比は整数にならない．

ｎ＝８＝２^3の場合，その比は整数になる．

ｎ　　　４　　　６　　　　　８　　　　　　９　　　　　　１０

ｎ！　２４　７２０　４０３２０　３６２８８０　３６２８８００

ｎ^2　１６　　３６　　　　６４　　　　　８１　　　　　１００

ｎ＝９＝３^2の場合，その比は整数になる．ｎ＝６＝２・３があるためであろう．

　そこで，ｎ＝２^kの場合に絞って調べてみたい．１からｎまでの間に２の倍数は

　［ｎ／２］＋［ｎ／２^2］＋［ｎ／２^3］＋・・・＝Ｎ個

ｋ＝１・・・Ｎ＝１

ｋ＝２・・・Ｎ＝３

ｋ＝３・・・Ｎ＝７

一般に１＋２＋４＋・・・＋２^k-1＝２^k−１

一方，ｎ^2＝２^2k

ｋ＝１・・・Ｎ＝２

ｋ＝２・・・Ｎ＝４

ｋ＝３・・・Ｎ＝６

一般に２ｋ．したがって，ｎ＝２^2の場合は例外となる．

［Ａ］ｎが合成数の場合，ただしｎ＝４の場合を除く．

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［Ｑ］２^n／ｎ^2が整数であるものは？

［Ａ］ｎ＝２^kの場合．

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