ガウスは，π（ｘ）をｘ以下の素数の個数とすると，

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

が成り立つだろうと予想しました．この予想はリーマンの研究を経て，１８９６年，フランスの数学者アダマールとプーサンによって証明されました．これを素数定理といいます．

［１］双子素数の分布に関しては，ハーディとリトルウッドによって，

　　πtwin（ｘ）〜Ｃ∫(2,x)ｄｔ／（ｌｏｇｔ）^2〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）^2

ただし，ｐを３以上の素数として

　　Ｃ＝２Π（１−１／（ｐ−１）^2）＝１．３２０３・・・

と予想されています．

［２］１０を原始根とする素数，たとえば，

　　７，１７，１９，２３，２９，４７，５９，６１，９７，・・・

の密度について，アルティンは

　　π10（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）

と予想しています．

　ただし，ｐを素数として，Ｃは

　　Ｃ＝Π（１−１／ｐ（ｐ−１））＝０．３７３９５・・・（アルティンの定数）

［３］ｎ^2＋１型素数

　　πq（ｘ）〜Ｃ∫(2,x)ｄｔ／（ｌｏｇｔ・√ｔ）〜Ｃ√ｘ／（ｌｏｇｘ）

と予想できます．

　ハーディとリトルウッドはＣの値も決定しています．

　　Ｃ＝Π（１−χ（ｐ）／（ｐ−１））

　　ｎ^2＋１＝０　（ｍｏｄｐ）→　χ（ｐ）＝１

　　ｎ^2＋１≠０　（ｍｏｄｐ）→　χ（ｐ）＝−１

　　Ｃ＝Π（１−（−１）^(p-1)/2／（ｐ−１））＝１．３７２７・・・

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【１】ランダウ・ラマヌジャン定数

　すべての整数は４つ以下の平方数の和として表現することができます（ラグランジュの定理，１７７０年）．素数とは関係はないのですが，２つの平方数の和として表現できるｘ以下の整数の個数をｎ（ｘ）とすると，ランダウとラマヌジャンはそれぞれ独自に

　　ｎ（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）^1/2　　　（ｘ→∞）

　　Ｃ＝｛１／２Π（１／１−ｐ^-2）｝^1/2＝０．７６４２２３６５３・・・

　　ｐは４ｎ＋３型素数をわたる

が成り立つことを証明しました．

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［雑感］自然数を４個（ラグランジュの定理），３個（ルジャンドルの定理）の平方数の和をもって表すことができることも重要な定理であるが割愛する．

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