ｘ＋ｙ＝Ａ，ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝Ｂ

　　ｘ^2−ｘ（Ａ−ｘ）＋（Ａ−ｘ）^2＝Ｂ

　　３ｘ^2−３Ａｘ＋Ａ^2−Ｂ＝０

　　ｘ＝１／６・｛３Ａ±（１２Ｂ−３Ａ^2）^1/2｝

　１２Ｂ−３Ａ^2＝１２ｘ^2−１２ｘｙ＋１２ｙ^2−３ｘ^2＋６ｘｙ−３ｙ^2＝９ｘ^2−６ｘｙ＋９ｙ^2

は少なくとも平方数でなければならない．

　９ｘ^2−６ｘｙ＋９ｙ^2

＝ａ（ｘ＋ｙ）^2＋ｂ（ｘ−ｙ）^2

のように２個の平方数の和で表されるとすると

　　ａ＋ｂ＝９，２ａ−２ｂ＝−６

　　ａ＋ｂ＝９，ａ−ｂ＝−３→ａ＝３，ｂ＝６

　９ｘ^2−６ｘｙ＋９ｙ^2

＝３（ｘ＋ｙ）^2＋６（ｘ−ｙ）^2

＝３｛（ｘ＋ｙ）^2＋２（ｘ−ｙ）^2｝

これで，３の倍数にもなった

　　ｘ＋ｙ＝ａ，ｘ−ｙ＝ｂとして，ａ^2＋２ｂ^2＝３ｃ^2と表されることが必要になる．

　　Ｘ^2＋２Ｙ^2＝３

を満たす（Ｘ，Ｙ）は無数にあり，（Ｘ，Ｙ）＝（１，１）を通る直線の傾きをｍとおくと，

　　Ｙ＝ｍ（Ｘ−１）＋１

　　Ｘ^2＋２ｍ^2（Ｘ−１）^2＋４ｍ（Ｘ−１）＋２＝３

　　Ｘ^2＋２ｍ^2（Ｘ^2−２Ｘ＋１）＋４ｍ（Ｘ−１）＋２＝３

　　（２ｍ^2＋１）Ｘ^2−（４ｍ^2−４ｍ）Ｘ＋２ｍ^2−４ｍ−１＝０

　　（２ｍ^2＋１）Ｘ^2−４ｍ（ｍ−１）Ｘ＋２ｍ^2−４ｍ−１＝０

Ｄ＝４ｍ^2（ｍ−１）^2−（２ｍ^2＋１）（２ｍ^2−４ｍ−１）

＝４ｍ^4−８ｍ^3＋４ｍ^2−４ｍ^4＋８ｍ^3＋２ｍ^2−２ｍ^2＋４ｍ＋１

＝（２ｍ＋１）^2

Ｘ＝｛２ｍ（ｍ−１）＋（２ｍ＋１）｝／（２ｍ^2＋１）・・｛偶＋奇｝／奇

＝（２ｍ^2＋１）／（２ｍ^2＋１）＝１

Ｙ＝（２ｍ^3＋ｍ）／（２ｍ^2＋１）−ｍ＋１

＝｛２ｍ^3＋ｍ−２ｍ^3−ｍ＋２ｍ^2＋１｝／（２ｍ^2＋１）

＝（２ｍ^2＋１）／（２ｍ^2＋１）＝１

Ｘ＝｛２ｍ（ｍ−１）−（２ｍ＋１）｝／（２ｍ^2＋１）・・｛偶−奇｝／奇

＝（２ｍ^2−４ｍ−１）／（２ｍ^2＋１）

Ｙ＝（２ｍ^3−４ｍ^2−ｍ）／（２ｍ^2＋１）−ｍ＋１

＝｛２ｍ^3−４ｍ^2−ｍ−２ｍ^3−ｍ＋２ｍ^2＋１｝／（２ｍ^2＋１）

＝（−２ｍ^2−２ｍ＋１）／（２ｍ^2＋１）

とパラメトライズされる．

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［まとめ］

（２ｍ^2−４ｍ−１）^2＋２（−２ｍ^2−２ｍ＋１）^2＝３（２ｍ^2＋１）^2

左辺は４次式，右辺も４次式

ｍ＝１のとき，３^2＋２・３^2＝３・３^2

ｍ＝２のとき，１^2＋２・１１^2＝３・９^2

ｍ＝３のとき，５^2＋２・２３^2＝３・１９^2

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