ｘ＋ｙ＝Ａ，ｘ^2－ｘｙ＋ｙ^2＝Ｂ

　　ｘ^2－ｘ（Ａ－ｘ）＋（Ａ－ｘ）^2＝Ｂ

　　３ｘ^2－３Ａｘ＋Ａ^2－Ｂ＝０

　　ｘ＝１／６・｛３Ａ±（１２Ｂ－３Ａ^2）^1/2｝

　１２Ｂ－３Ａ^2＝１２ｘ^2－１２ｘｙ＋１２ｙ^2－３ｘ^2＋６ｘｙ－３ｙ^2＝９ｘ^2－６ｘｙ＋９ｙ^2

は少なくとも平方数でなければならない．

　９ｘ^2－６ｘｙ＋９ｙ^2

＝ａ（ｘ＋ｙ）^2＋ｂ（ｘ－ｙ）^2

のように２個の平方数の和で表されるとすると

　　ａ＋ｂ＝９，２ａ－２ｂ＝－６

　　ａ＋ｂ＝９，ａ－ｂ＝－３→ａ＝３，ｂ＝６

　９ｘ^2－６ｘｙ＋９ｙ^2

＝３（ｘ＋ｙ）^2＋６（ｘ－ｙ）^2

＝３｛（ｘ＋ｙ）^2＋２（ｘ－ｙ）^2｝

これで，３の倍数にもなった

　　ｘ＋ｙ＝ａ，ｘ－ｙ＝ｂとして，ａ^2＋２ｂ^2＝３ｃ^2と表されることが必要になる．

　　Ｘ^2＋２Ｙ^2＝３

を満たす（Ｘ，Ｙ）は無数にあり，（Ｘ，Ｙ）＝（１，１）を通る直線の傾きをｍとおくと，

　　Ｙ＝ｍ（Ｘ－１）＋１

　　Ｘ^2＋２ｍ^2（Ｘ－１）^2＋４ｍ（Ｘ－１）＋２＝３

　　Ｘ^2＋２ｍ^2（Ｘ^2－２Ｘ＋１）＋４ｍ（Ｘ－１）＋２＝３

　　（２ｍ^2＋１）Ｘ^2－（４ｍ^2－４ｍ）Ｘ＋２ｍ^2－４ｍ－１＝０

　　（２ｍ^2＋１）Ｘ^2－４ｍ（ｍ－１）Ｘ＋２ｍ^2－４ｍ－１＝０

Ｄ＝４ｍ^2（ｍ－１）^2－（２ｍ^2＋１）（２ｍ^2－４ｍ－１）

＝４ｍ^4－８ｍ^3＋４ｍ^2－４ｍ^4＋８ｍ^3＋２ｍ^2－２ｍ^2＋４ｍ＋１

＝（２ｍ＋１）^2

Ｘ＝｛２ｍ（ｍ－１）＋（２ｍ＋１）｝／（２ｍ^2＋１）・・｛偶＋奇｝／奇

＝（２ｍ^2＋１）／（２ｍ^2＋１）＝１

Ｙ＝（２ｍ^3＋ｍ）／（２ｍ^2＋１）－ｍ＋１

＝｛２ｍ^3＋ｍ－２ｍ^3－ｍ＋２ｍ^2＋１｝／（２ｍ^2＋１）

＝（２ｍ^2＋１）／（２ｍ^2＋１）＝１

Ｘ＝｛２ｍ（ｍ－１）－（２ｍ＋１）｝／（２ｍ^2＋１）・・｛偶－奇｝／奇

＝（２ｍ^2－４ｍ－１）／（２ｍ^2＋１）

Ｙ＝（２ｍ^3－４ｍ^2－ｍ）／（２ｍ^2＋１）－ｍ＋１

＝｛２ｍ^3－４ｍ^2－ｍ－２ｍ^3－ｍ＋２ｍ^2＋１｝／（２ｍ^2＋１）

＝（－２ｍ^2－２ｍ＋１）／（２ｍ^2＋１）

とパラメトライズされる．

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［まとめ］

（２ｍ^2－４ｍ－１）^2＋２（－２ｍ^2－２ｍ＋１）^2＝３（２ｍ^2＋１）^2

左辺は４次式，右辺も４次式

ｍ＝１のとき，３^2＋２・３^2＝３・３^2

ｍ＝２のとき，１^2＋２・１１^2＝３・９^2

ｍ＝３のとき，５^2＋２・２３^2＝３・１９^2

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