■ナルシスト数の変種? (その11)
3^3+4^4+3^3+5^5=3435
a^a+b^b+c^c+d^d=1000a+100b+10c+d
1≦a,b,c,d≦9
ma=max{a,b,c,d},mi=min{a,b,c,d}とすると、
n桁のミュンヒハウゼン数は最小値〜n・mi^mi,最大値〜n・ma^ma
右辺は最小値〜10^n-1,最大値〜10^n
n・ma^ma<10^n-1またはn・mi^mi>10^nを満たすとき,n桁のミュンヒハウゼン数は存在しない.
malog10ma<n−1−log10n,
milog10mi>n−log10n
これより,{a,b,c,・・・}については
n=2のとき,2−4 n=6のとき,5−7
n=3のとき,3−5 n=7のとき,6−8
n=4のとき,3−5 n=8のとき,7−8
n=5のとき,4−6 n=9のとき,7−9
が考える対象になることがわかる.
解の存在範囲を絞り込みをしているので計算ははすぐ終わるが,自明なものは除き,6桁までの範囲でミュンヒハウゼン数は存在しないことがわかった.
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