ｋ＝３では周期倍分岐を伴う．

　　ｘ1＝ｆ（ｘ0）＝ｋｘ0（１−ｘ0）

　　ｘ2＝ｆ（ｘ1）＝ｋｘ1（１−ｘ1）＝ｋ^2ｘ0（１−ｘ0）（１−ｋｘ0（１−ｘ0））

は４次多項式であるが，

　　ｘ＝０，１−１／ｋ

が固定点であることがわかっているので，２次方程式に簡略化される．

　残りの２根は

　　｛（ｋ＋１）±｛（ｋ＋３）（ｋ＋１）｝^1/2｝／２ｋ

したがって，ｋ＞３ならば実根となり，２周期軌道が存在することがわかる．

　ｋ＝３において，２根は一致（ｘ＝１−１／ｋ＝２／３）する．逆に，ｋ＜３ならば２周期軌道は存在しないことを意味する．

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　この２周期軌道は３＜ｋ＜３．４４（＝１＋√６）ならば２つの極限値の間を振動する（周期２のサイクル）．すなわち，安定であることが以下のようにして示される．

　　｛（ｋ＋１）±｛（ｋ＋３）（ｋ＋１）｝^1/2｝／２ｋ

の２根をｐ，ｑとおく．

　　ｆ^2（ｘ）＝ｆ（ｆ（ｘ））＝ｋ^2ｘ（１−ｘ）（１−ｋｘ（１−ｘ））

をｘで微分すると

　　λ＝ｆ’（ｆ（ｘ））ｆ（ｘ）

　ｐの分岐とｑの分岐が同時に起こるとすると

　　ｆ’（ｆ（ｐ））ｆ（ｐ）＝ｆ’（ｆ（ｑ））ｆ（ｑ）

　λ＝ｋ（１−２ｐ）ｋ（１−２ｑ）

＝ｋ^2（１−２（ｐ＋ｑ）＋４ｐｑ）

＝４＋２ｋ−ｋ^2

　よって，２周期軌道は

｜４＋２ｋ−ｋ^2｜＜１→．ＭｋＭ１＋√６において安定である．

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