さらに,ロジスティック写像
xn+1=f(xn)=kxn(1-xn)
を考える.0≦xn≦1,0≦k≦<4
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[1]固定点
x=kx(1-x)を満たすから,x=1-1/k
原点x=0はすべてのkに対して固定点
x=1-1/kはk≧1に対してのみ,xの許容範囲内にある
[2]安定性
f’(x)=k-2kx
f’(0)=kなので,原点はk<1のとき安定,k>1のとき不安定
x=1-1/kは
f’(1-1/k)=k-2k(1-1/k)=-k+2
より,k<3のとき安定となる.
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放物線はk<1ではy=xより下にあり,原点が唯一の固定点である.kが増加すると放物線の背が高くなり,k=1のとき,y=xに接する.k>1になると,放物線は2つ目の固定点で交差し,一方,原点は安定性を失う.
さらにkが増加すると固定点x=1-1/kにおける傾きはますます急となり,k=3のとき,
f’(1-1/k)=k-2k(1-1/k)=-k+2
は臨界点f’(1-1/k)=-1に達して,安定性を失う.
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