各ステップでの変位の特性関数がλ（ｋ）で与えられている．ｎ個の同一分布にしたがう確率変数の和の特性関数は，特性関数のｎ回の積で与えられる．

　　Ｐn（ｋ）＝｛λ（ｋ）｝^n

［１］λ（ｋ）が正規分布に従うとき，ｎステップ後の変位の分布Ｐn（ｘ）は正規分布に従う．

［２］λ（ｋ）がコーシー分布に従うとき，ｎステップ後の変位の分布Ｐn（ｘ）はコーシー分布に従う．

　１ステップでの変位の分布おいて，２次モーメントが存在しないときを考える．すなわち，中心極限定理が破れたときである．

　たとえば，コーシー分布では２次モーメントは存在せず，ｎステップ後の変位の分布はコーシー分布になる．

［３］安定性

　正規分布に従う確率変数の和の分布は正規分布に，コーシー分布に従う確率変数の和の分布はコーシー分布にしたがうという性質をもっている．

　しかし，この性質（安定性）をもつのは，正規分布やコーシー分布だけではない．一般に，分布ｐ（ｘ）が漸近的に指数０＜α＜２であるベキ分布

　　ｐ（ｘ）〜Ａ／ｘ^(1+α)

　　Ｐn（ｋ）→ｅｘｐ（−ａｋ^α）

　　ａ：スケールパラメータ，α：指数

はレヴィ分布と呼ばれる．

　このようなすべての分布は安定性をもつ．コーシー分布はそのひとつで，正規分布（α＝２，Ｐn（ｋ）→ｅｘｐ（−ａｋ^2））はその極限である．

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