■中川の5円定理(その5)

 大円(半径a),扇(半径b),小円(半径c)が下図のような位置にある(外円の半径を1としても一般性は失われない,2a+b=2).

 (その4)は元々「算額の問題」で,それらの中心を結ぶ三角形が直角三角形である場合に改編した問題を掲げたい.

[Q]それらの中心を結ぶ三角形が直角三角形であるときのaの値を求めよ.(c円の中心はa円の中心とb扇の要を端点とする半円上にある.)

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[A]ピタゴラスの定理より

  (a+b)^2=(b+c)^2+(c+a)^2

整理すると

  ab=c(a+b+c)

  c^2+(a+b)-ab=0

  c=[-(a+b)+{(a+b)^2+4ab}^1/2]/2

cをaで表すために,b=2-2aを代入すると

  c=[-(2-a)+{(2-a)^2+8a(1-a)}^1/2]/2

  c=[-(2-a)+{4+4a-7a^2}^1/2]/2

 (その4)より

  c=(a^3-3a^2+2a)/(a^2-2a+2)

 したがって,

[-(2-a)+{4+4a-7a^2}^1/2]/2=(a^3-3a^2+2a)/(a^2-2a+2)

[-(2-a)+{4+4a-7a^2}^1/2]=2(a^3-3a^2+2a)/(a^2-2a+2)

{4+4a-7a^2}^1/2=2(a^3-3a^2+2a)/(a^2-2a+2)+(2-a)

{4+4a-7a^2}^1/2=(a^3-2a^2-2a+4)/(a^2-2a+2)

を解くことになるが,あとは読者の宿題としたい.なお,内接円の半径rはc円と同径になることは明らかである.

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