■サマーヴィルの等面四面体(その670)

 連続する3辺がねじれ角を構成するという前提で計算をしているが,この方法では4点しか決定できない.4次元の5頂点の場合は何とかなったが,5次元の6頂点の場合は決定できるだろうか? 4点求められたとして,残りは(±1,0)になるだろうか?

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arccos(-4+√21)/10=2arccos((6+√21)/20)^1/2)

=2arctan((70-5√21)^1/2/(6+√21))

=2arctan((21-4√21)/3)^1/2

  x^2+((21-4√21)/3)^1/2x)^2=1,(24-4√21)/3)・x^2=1,

  x0=-((6+√21)/20)^1/2,y0=-((14-√21)/20)^1/2

 辺の長さは2|y0|

  2((14-√21)/20)^1/2

であるから

  (x-x0)^2+(y-y0)^2=4y0^2

  x^2+y^2=1

として計算すると

  x^2+2x0x+x0^2+y^2+2y0y+y0^2=4y0^2

  x0x+y0y=2y0^2-1=(14-√21)/10-1=(4-√21)/10

  x={2y0^2-1-y0y}/x0

{2y0^2-1-y0y}^2/x0^2+y^2=1

{2y0^2-1-y0y}^2+x0^2y^2=x0^2

(y0^2+x0^2)y^2-2(2y0^2-1)y0y+(2y0^2-1)^2-x0^2=0

y^2-2(2y0^2-1)y0y+(2y0^2-1)^2-x0^2=0

y=(2y0^2-1)y0±{(2y0^2-1)^2y0^2-(2y0^2-1)^2+x0^2}^1/2

y=(2y0^2-1)y0±{(2y0^2-1)^2(y0^2-1)+x0^2}^1/2

y=(2y0^2-1)y0±{-(2y0^2-1)^2x0^2+x0^2}^1/2

y=(2y0^2-1)y0±{1-(2y0^2-1)^2}x0^2}^1/2

y=(2y0^2-1)y0±{4x0^2y0^2(1-y0^2)}^1/2

y=(2y0^2-1)y0±{4x0^4y0^2}^1/2

y=(2y0^2-1)y0±2x0^2y0

y=y0,(2y0^2-2x0^2-1)y0

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