■サマーヴィルの等面四面体(その663)
(その659)を逆からみると
[1]等面四面体は,
AB=CD=a
AC=BD=b
AD=BC=c
で与えられる.
[2]空間充填四面体のひとつの族は
AB=BC=CD=a
AC=BD=b
AD=c
c^2=3(b^2−a^2)
で与えられる.ここで,空間充填性のために必要になるのはBC=aである.
[3]これが空間充填等面四面体となるためには
AB=BC=CD=a
AC=BD=b
AD=a
でなければならないが,等面性のために必要となるのはAD=BC=aである.
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[1]の等面四面体を直方体(x,y,z)に内接させる.
x^2+y^2=a^2
y^2+z^2=b^2
z^2+x^2=c^2
直方体のブロック積みを考えると,(x,y,z,a,b,c)の3直角三角錐が4個できる.この直角錘はヒルの4直角三角錐とは異なり,空間充填図形ではない.
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