■高次元タイルの二面角(その2)

【1】高次元FCC結晶

 正軸体の基本単体を(0,a1,・・・,an)とする.

  aj=√2/j(j+1),j=0〜n−1

  an=√2/n,yj=xj/aj

  (y1−y2)/√(1/a1^2+1/a2^2)=L

  1−y1=y2−y3=・・・=yn-2−yn-1=yn-1−yn=0

  y1=1,y2=・・・=yn-1=0,y0=1,yn=0

  a1=1,a2=1/√3

  1/a1^2+1/a2^2=4,L=1/2

 頂点の座標は

  Q1(a1y1,a2y2,・・・,anyn)=(1,0,・・・,0)

であるが,もう一つの頂点は

  Q2(a1y1+2L,a2y2,・・・,anyn)

とはならないことに注意.

  (0,・・・,0)と(a1,3a2,0,・・・,0)

の中点

  Q2(a1/2,3a2/2,0,・・・,0)

である.

  O(a1,・・・,an)

  OQ1(a1(y1−1),a2(y2−1),・・・,an(yn−1))

=(0,−a2,・・・・,−an-1,−an)

  OQ2(−a1/2,a2/2,−a3,・・・,−an)

  OQ1^2=a2^2+・・・+an-1^2+an^2

={2/2・3+・・・+2/(n−1)n}+2/n

=2{1/2−1/n}+2/n

=1

  OQ2^2=a1^2/4+a2^2/4+(a3^2+・・・+an-1^2)+an^2

=1/4+1/12+{2/3・4+・・・+2/(n−1)n}+2/n

=1/4+1/12+2{1/3−1/n}+2/n

=1

  OQ1(0,−a2,・・・・,−an-1,−an)

  OQ2(−a1/2,a2/2,−a3,・・・,−an)

  OQ3(a1/2,a2/2,−a3,・・・,−an)

とすることもできるが,

  OQ1・OQ2=−a2^2/2+(a3^2+・・・+an-1^2)+an^2

=−1/6+2{1/3−1/n}+2/n

=1/2

  OQ2・OQ3=−a1^2/4+a2^2/4+(a3^2+・・・+an-1^2)+an^2

=−1/4+1/12+2{1/3−1/n}+2/n

=1/2

  cosθ=1/2

 したがって,HCP結晶の二胞角はその補角であるから,次元に関わらず120°となる.

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