Σ（−１）^jｊ（ｎ＋１−ｊ）（ｎ＋１，ｊ），ｊ＝０〜ｎ＋１を調べてみることにしたい．

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（ｎ＋１）Σ(1)（−１）^j（ｎ＋１，ｊ）

Σ(1)（−１）^jｊ^2（ｎ＋１，ｊ）

（１＋ｘ）^n+1＝Σ(0)（ｎ＋１，ｊ）ｘ^j

（ｎ＋１）（１＋ｘ）^n＝Σ(0)ｊ（ｎ＋１，ｊ）ｘ^j-1

ｎ（ｎ＋１）（１＋ｘ）^n-1＝Σ(1)ｊ（ｊ−１）（ｎ＋１，ｊ）ｘ^j-2

ｘ＝−１を代入すると

０＝Σ(1)ｊ（ｊ−１）（ｎ＋１，ｊ）（−１）^j

Σ(1)ｊ^2（ｎ＋１，ｊ）（−１）^j＝Σ(1)ｊ（ｎ＋１，ｊ）（−１）^r

岩波公式集よりΣ(1)ｊ（ｎ＋１，ｊ）（−１）^j＝０

したがって，

Σ(1)ｊ^2（ｎ＋１，ｊ）（−１）^j＝０

（ｎ＋１）Σ(1)（−１）^jｊ（ｎ＋１，ｊ）＝０

Σ(1)（−１）^ｊ（ｎ＋１，ｊ）ｊ（ｎ−ｊ＋１）＝０

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［まとめ］前向きにこれらの式を出すのは１通りとは限らないが，後ろ向きの正しいことを確認するのは容易である．決定することはできなくても確認することはできるという意味ではオイラーの関係式やデーン・サマーヴィル関係式のような存在である．

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