【１】ケーベの１／４定理（ビーベルバッハの定理）

　ケーベ予想とは，単位円｜ｚ｜＝１内で単葉であり，かつ，ｆ（０）＝０，ｆ’（０）＝１を満たす関数ｆ（ｚ）はによるその円による像に，完全に含まれる最大円の半径の下限が１／４であるという予想である．単葉関数とはその定義域内の異なる２点の像が常に異なるものをいう．

　ビーベルバッハによって１９１６年に証明された．

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【２】ビーベルバッハ予想（ド・ブランジェの定理）

　ビーベルバッハ予想（１９１６年）とは，ある関数が単位円の中の点と単連結な領域の中の点との間の１：１対応を提供するとき，係数はベキ乗よりも大きくなることはないという予想である．

　すなわち，

　　ｆ（ｚ）＝ａ0＋ａ1ｚ＋ａ2ｚ^2＋・・・

が与えられたとき，ａ0＝０，ａ1＝１であれば，ｉ≧２なるすべてのｉに対して

　　｜ａi｜≦ｉ

となるというものである．１９８４年にド・ブランジェにより証明された．

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【３】ブロッホの定理

　ブロッホの定理とは，単位円内で正則かつｆ’（０）＝１なる関数ｆ（ｚ）は，ある定数Ｂを越えた長さの単連結部分をもつ．

　ある点における長さとは，その点を中心とした円で，その内部では元の関数の逆関数が正則で単連結となるものの半径の最大の長さをさす．

　アールフォルスは

　　√３／４＜Ｂ＜２^1/4√π・Γ（１／３）／Γ（１／４）・｛Γ（１１／１２）／Γ（１／１２｝^1/2

　　０．４３３０・・・＜Ｂ＜０．４７１９・・・

であることを示した．

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