（その２９）

［Ｑ］区間［−１，１］において，Ｍ＝ｍａｘ｜ｘ^2＋ａｘ＋ｂ｜は，ａ，ｂの値に関わらず常に１／２より小さくないことを証明せよ．

［Ｑ］区間［−１，１］において，Ｍ＝ｍａｘ｜ｘ^4＋ａｘ^2＋ｂ｜は，ａ，ｂの値に関わらず常に１／８より小さくないことを証明せよ．

（その３０）〜（その３２）

［Ｑ］ｆ（ｘ）＝ｘ^3＋ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ

はａ，ｂ，ｃの値に関わらず常に１／４より小さくないことを証明せよ．

・・・において，１／２，１／８，１／４が出現した理由が多項式近似定理なのである．

　ｐ（ｘ）＝ｘ^n＋ａ1ｘ^n-1＋・・・＋ａn

　Ｍ＝ｍａｘ｜ｐ（ｘ）｜

とする．このとき，

　Ｍ≧１／２^n-1

が成立し，Ｍを最小にするのは

　ｐ（ｘ）＝Ｔn（ｘ）／２^n-1

ただひとつである．

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［証］Ｔn（ｃｏｓθ）＝ｃｏｓｎθ

［−１，１］において，｜Ｔn（ｃｏｓθ）｜≦１

零点はｃｏｓｎθ＝０より，

　　ｘj＝ｃｏｓ（２ｊ−１）π／２ｎ

ｄＴn（ｃｏｓθ）／ｄｘ＝ｎｓｉｎｎθ／ｓｉｎθより，

　　ｘj＝ｃｏｓｊπ／ｎ

で，極値はＴn（ｃｏｓｊπ／ｎ）＝ｃｏｓｊπ＝±１をとる．

したがって，

　　Ｆn（ｘ）＝Ｔn（ｚ）／２^n-1

とおくと，ｍａｘ｜Ｆn（ｘ）｜＝１／２^n-1

　　Ｆn（ｘ）＝ｘ^n−ｆn（ｘ）

とおくと，ｍａｘ｜ｘ^n−ｆn（ｘ）｜≧１／２^n-1

が成り立つ．以上より，求める多項式は

　　Ｆn（ｘ）＝Ｔn（ｚ）／２^n-1

である．

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