［Ｑ］ｆ（ｘ）＝ｘ^3＋ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ

　　　Ｍ＝ｍａｘ｜｜ｆ（１）｜，｜ｆ（－１）｜，｜ｆ（１／２）｜，｜ｆ（－１／２）｜≧１／４が成り立つことを証明せよ．

［Ａ］Ｍ＜１／４と仮定して，矛盾を導く．

｜ｆ（１）｜＝｜１＋ａ＋ｂ＋ｃ｜＜１／４

｜ｆ（－１）＝｜－１＋ａ－ｂ＋ｃ｜＜１／４

これより，｜１＋ｂ｜＜１／４　→　－５／４＜ｂ＜－３／４

｜ｆ（１／２）｜＝｜１／８＋ａ／４＋ｂ／２＋ｃ｜＜１／４

｜ｆ（－１／２）｜＝｜－１／８＋ａ／４－ｂ／２＋ｃ｜＜１／４

これより，｜１／４＋ｂ｜＜１／２　→　－３／４＜ｂ＜１／４

これらを同時に満たすｂは存在しない．

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［Ｑ］区間［－１，１］において，Ｍ＝ｍａｘ｜ｘ^3＋ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ｜を最小とするａ，ｂ，ｃを求めよ．

［Ａ］前問より｜ｘ^3＋ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ｜≧１／４

等号が成立するｆ（ｘ）があるとすると，

｜ｆ（１）｜≦１／４，｜ｆ（－１）｜≦１／４より，－５／４≦ｂ≦－３／４

｜ｆ（１／２）｜≦１／４，｜ｆ（－１／２）｜≦１／４より，－３／４≦ｂ≦１／４

したがって，ｂ＝－３／４

｜ｆ（１）｜≦１／４，｜ｆ（－１）｜≦１／４に代入すると，

｜ａ＋ｃ＋１／４｜≦１／４，｜ａ＋ｃ－１／４｜≦１／４

したがって，ａ＋ｃ＝０

｜ｆ（１／２）｜≦１／４，｜ｆ（－１／２）｜≦１／４に代入すると，

｜１／４＋３ａ／４｜≦１／４，｜－１／４＋３ａ／４｜≦１／４

したがって，ａ＝０，ｃ＝０

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