［Ｑ］ｆ（ｘ）＝ｘ^3＋ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ

　　　Ｍ＝ｍａｘ｜｜ｆ（１）｜，｜ｆ（−１）｜，｜ｆ（１／２）｜，｜ｆ（−１／２）｜≧１／４が成り立つことを証明せよ．

［Ａ］Ｍ＜１／４と仮定して，矛盾を導く．

｜ｆ（１）｜＝｜１＋ａ＋ｂ＋ｃ｜＜１／４

｜ｆ（−１）＝｜−１＋ａ−ｂ＋ｃ｜＜１／４

これより，｜１＋ｂ｜＜１／４　→　−５／４＜ｂ＜−３／４

｜ｆ（１／２）｜＝｜１／８＋ａ／４＋ｂ／２＋ｃ｜＜１／４

｜ｆ（−１／２）｜＝｜−１／８＋ａ／４−ｂ／２＋ｃ｜＜１／４

これより，｜１／４＋ｂ｜＜１／２　→　−３／４＜ｂ＜１／４

これらを同時に満たすｂは存在しない．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［Ｑ］区間［−１，１］において，Ｍ＝ｍａｘ｜ｘ^3＋ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ｜を最小とするａ，ｂ，ｃを求めよ．

［Ａ］前問より｜ｘ^3＋ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ｜≧１／４

等号が成立するｆ（ｘ）があるとすると，

｜ｆ（１）｜≦１／４，｜ｆ（−１）｜≦１／４より，−５／４≦ｂ≦−３／４

｜ｆ（１／２）｜≦１／４，｜ｆ（−１／２）｜≦１／４より，−３／４≦ｂ≦１／４

したがって，ｂ＝−３／４

｜ｆ（１）｜≦１／４，｜ｆ（−１）｜≦１／４に代入すると，

｜ａ＋ｃ＋１／４｜≦１／４，｜ａ＋ｃ−１／４｜≦１／４

したがって，ａ＋ｃ＝０

｜ｆ（１／２）｜≦１／４，｜ｆ（−１／２）｜≦１／４に代入すると，

｜１／４＋３ａ／４｜≦１／４，｜−１／４＋３ａ／４｜≦１／４

したがって，ａ＝０，ｃ＝０

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝