［Ｑ］区間［０，１］において，ｍａｘ｜ｘ^3−ａｘ｜は，ａの値に関わらず常に１／４より小さくないことを証明せよ．

［Ａ］ｆ（ｘ）＝ｘ^3−ａｘ

　　　ｆ’（ｘ）＝３ｘ^2−ａ＝３（ｘ^2−ａ／３）

とするのではなく，背理法で証明する．

　　Ｆ（ａ）＜１／４なるａがあったと考える．ａをひとつ固定して考えると

｜ｆ（１）｜＜１／４かつ｜ｆ（１／２）｜＜１／４

すなわち

−１／４＜１−ａ＜１／４かつ−１／４＜１／８−ａ／２＜１／４あ

３／４＜ａ＜５／４かつ−１／４＜ａ＜３

しかし，このようなａは存在しない．

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［Ｑ］区間［−１，１］において，Ｍ＝ｍａｘ｜ｘ^2＋ａｘ＋ｂ｜は，ａ，ｂの値に関わらず常に１／２より小さくないことを証明せよ．

［Ａ］ｆ（ｘ）＝ｘ^2＋ａｘ＋ｂ

ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）−（ｘ^2−１／２）とおく．　　

背理法で証明する．

　　Ｍ＜１／２なるａ，ｂがあったと考える．ａ，ｂをひとつ固定して考えると

１／２＜ｆ（ｘ）＜１／２，すなわち，−ｘ^2＜ｇ（ｘ）＜１−ｘ^2

−１／２−ｘ^2＜ａｘ＋ｂ＜１／２−ｘ^2

ここで，ｘ＝±１とすると

−３／２＜−ａ＋ｂ＜−１／２，−３／２＜ａ＋ｂ＜−１／２より，

−３／２＜ｂ＜−１／２

また，ｘ＝０とすると，−１／２＜ｂ＜１／２

しかし，このようなａは存在しない．

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［Ｑ］区間［−１，１］において，Ｍ＝ｍａｘ｜ｘ^4＋ａｘ^2＋ｂ｜は，ａ，ｂの値に関わらず常に１／８より小さくないことを証明せよ．

［Ａ］三角関数に置き換えて考える．ｘ＝ｃｏｓθ，０≦θ≦π／２

　　ｃｏｓ２θ＝２ｘ^2−１，ｃｏｓ４θ＝８ｘ^4−８ｘ^2＋１

したがって，

｜ｘ^4＋ａｘ^2＋ｂ｜＝１／８・｜ｃｏｓ４θ＋４（１＋ａ）ｃｏｓ２θ＋４ａ＋８ｂ＋３｜｛

＝１／８・｜ｆ（θ）｜

　もし題意が成立しないとすると｜ｆ（θ）｜＜１が満たされる．

θ＝０，π／２，π／４とすると

４（１＋ａ）＋４ａ＋８ｂ＋３＜０

−４（１＋ａ）＋４ａ＋８ｂ＋３＜０

４ａ＋８ｂ＋３＞０

これらは互いに矛盾する．

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