［Ｑ］０≦ｘ≦１において，ｍａｘ｜ｘ^3−ｘ−ａ｜を最小にするａの値を求めよ．

［Ａ］ｆ（ｘ）＝ｘ^3−ｘ＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ−１）

　　　ｆ’（ｘ）＝３ｘ^2−１＝３（ｘ＋１／√３）（ｘ−１／√３）

区間［０，１］において，−２√３／９≦ｆ（ｘ）≦０

よって，

−２√３／９−ａ≦ｆ（ｘ）−ａ≦−ａ

ｍａｘ｜ｘ^3−ｘ−ａ｜＝ｍａｘ｛｜ａ｜，｜ａ＋２√３／９｜｝

これはａ＝−√３／９で最小となる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［Ｑ］ｍａｘ｜２ｃｏｓ３ｘ＋ｃｏｓ２ｘ−２ｃｏｓｘ−ａ｜を最小にするａの値を求めよ．

［Ａ］ｆ（ｘ）＝２ｃｏｓ３ｘ＋２ｃｏｓ２ｘ−２ｃｏｓｘ

ｃｏｓｘ＝ｔとおくと，｜ｔ｜≦１

ｇ（ｔ）＝２（４ｔ^3−３ｔ）＋（２ｔ^2−１）−２ｔ＝８ｔ^3＋２ｔ^2−８ｔ−１

ｇ’（ｔ）＝２４ｔ^2＋４ｔ−８＝４（３ｔ＋２）（２ｔ＋１）

ｘ^3−ｘ＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ−１）

　　　ｆ’（ｘ）＝３ｘ^2−１＝３（ｘ＋１／√３）（ｘ−１／√３）

区間［−１，１］において，−７／２≦ｇ（ｔ）≦７７／２７

よって，

−７／２−ａ≦ｇ（ｔ）−ａ≦７７／２７−ａ

ｍａｘ｜ｇ（ｔ）−ａ｜＝ｍａｘ｛｜ａ＋７／２｜，｜ａ−７７／２７｜｝

これはａ＝−３５／１０８で最小となる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［Ｑ］区間［０，１］において，ｍａｘ｜ｘ^3−３ａｘ＋１｜を最小にするａの値を求めよ．

［Ａ］ｆ（ｘ）＝ｘ^3−３ａｘ＋１

　　　ｆ’（ｘ）＝３ｘ^2−３ａ＝３（ｘ^2−ａ）

［１］ａ≦０のとき，ｆ（ｘ）≧０（単調増加）

　　１≦ｆ（ｘ）≦２−３ａ

［２］ａ＞０のとき，ｆ’（ｘ）＝３（ｘ＋√ａ）（ｘ−√ａ）

√ａ≧１のとき，区間［０，１］において，単調減少

　　２−３ａ≦ｆ（ｘ）≦１

０＜√ａ≦１のとき

　ａ≦１／３ならば，１−２ａ√ａ≦ｆ（ｘ）≦２−３ａ

　ａ＞１／３ならば，２−３ａ≦ｆ（ｘ）≦１−２ａ√ａ

まとめると

ｍａｘ｜ｘ^3−３ａｘ＋１｜

＝２−３ａ　　（ａ≦０）

＝ｍａｘ｛２−３ａ，｜１−２ａ√ａ｜｝＝２−３ａ　　（０＜ａ≦１／３）

＝ｍａｘ｛１，｜１−２ａ√ａ｜｝＝１　　（１／３＜ａ＜１）

＝３−２ａ　　（ａ≧１）

（１／３＜ａ＜１）で最小となる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝