■わが闘争・2017 (その23)

  [参]硲文夫「面心の代幾何学」東京電機大学出版会

 第1種チェビシェフ曲線:(x,y)=(Tm(t),Tn(t))

 第2種チェビシェフ曲線:(x,y)=(Um(t),Un(t))

の例が掲載されている.

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 x=Tm(t),y=Tn(t)とおくと,第1種チェビシェフ曲線の定義方程式は,パラメータtを消去して,陰関数

  f(x,y)=Tn(x)-Tm(y)

で与えられる.

 T2,3すなわち,m=2,n=3の場合,

  f(x,y)=T3(x)-T2(y)=(4x^3-3x)-(2y^2-1)

 特異点は

  fx(x,y)=12x^2-3=0

  fy(x,y)=-4y=0

より(x,y)=(±1/2,0)であるが,実際にf(x,y)=0となるのは(x,y)=(1/2,0)のみである.

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[雑感]後述の終結式を使うと

  x=T2(t)=2t^2-1

  y=T3(t)=4t^3-3t

Res(2t^2-1-x,4t^3-3t-y)

=-4{4x^3-3x)-(2y^2-1)}

より

f(x,y)=T3(x)-T2(y)=(4x^3-3x)-(2y^2-1)

が得られる.

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