[参]硲文夫「面心の代幾何学」東京電機大学出版会
に
第1種チェビシェフ曲線:(x,y)=(Tm(t),Tn(t))
第2種チェビシェフ曲線:(x,y)=(Um(t),Un(t))
の例が掲載されている.
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x=Tm(t),y=Tn(t)とおくと,第1種チェビシェフ曲線の定義方程式は,パラメータtを消去して,陰関数
f(x,y)=Tn(x)-Tm(y)
で与えられる.
T2,3すなわち,m=2,n=3の場合,
f(x,y)=T3(x)-T2(y)=(4x^3-3x)-(2y^2-1)
特異点は
fx(x,y)=12x^2-3=0
fy(x,y)=-4y=0
より(x,y)=(±1/2,0)であるが,実際にf(x,y)=0となるのは(x,y)=(1/2,0)のみである.
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[雑感]後述の終結式を使うと
x=T2(t)=2t^2-1
y=T3(t)=4t^3-3t
Res(2t^2-1-x,4t^3-3t-y)
=-4{4x^3-3x)-(2y^2-1)}
より
f(x,y)=T3(x)-T2(y)=(4x^3-3x)-(2y^2-1)
が得られる.
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