ここでは，ｔａｎｎθ＝−ｔａｎθについて調べてみたい．

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　正接の倍角公式は，

　　ｔａｎ２θ＝２ｔａｎθ／（１−ｔａｎ^2θ）

で与えられる．

　正接のｎ倍角公式は，パスカルの三角形を用いて，次のように書くことができる．

　　ｔａｎｎθ＝（nC1ｔａｎθ−nC3ｔａｎ^3θ＋nC5ｔａｎ^5θ−・・・）／（nC0−nC2ｔａｎ^2θ＋nC4ｔａｎ^4θ−・・・）

　分母・分子の係数は，２項係数の符号が対で交代するパスカルの正接三角形

　　　　　　　　　　　　１

　　　　　　　　　　１　　　１

　　　　　　　　１　　　２　　　−１

　　　　　　１　　　３　　　−３　　　−１

　　　　１　　　４　　　−６　　　−４　　　１

　　１　　　５　　−１０　　−１０　　　５　　　１

の形に並べることができる．ほとんどの教科書から消えてしまったが，美しい公式である．

　　ｔａｎ３θ＝（３ｔａｎθ−ｔａｎ^3θ）／（１−３ｔａｎ^2θ）

　　ｔａｎ４θ＝（４ｔａｎθ−４ｔａｎ^3θ）／（１−６ｔａｎ^2θ＋ｔａｎ^4θ）

　　ｔａｎ５θ＝（５ｔａｎθ−１０ｔａｎ^3θ＋ｔａｎ^5θ）／（１−１０ｔａｎ^2θ＋５ｔａｎ^4θ）

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［１］ｎ＝２

　　２／（１−ｔａｎ^2θ）＝−１

　　ｔａｎ^2θ＝３，ｃｏｓθ＝１／２，６０°

［２］ｎ＝３（２次元）

　　（３−ｔａｎ^2θ）／（１−３ｔａｎ^2θ）＝−１

　　ｔａｎ^2θ＝１，ｃｏｓθ＝１／√２，４５°

［３］ｎ＝４（３次元）

　　（４−４ｔａｎ^2θ）／（１−６ｔａｎ^2θ＋ｔａｎ^4θ）＝−１

　　５−１０ｔａｎ^2θ＋ｔａｎ^4θ＝０

　　ｔａｎ^2θ＝５＋√２０または５−√２０

　　ｃｏｓθ＝（√５＋１）／４，３６°

［４］ｎ＝５（４次元）

　　（５−１０ｔａｎ^2θ＋ｔａｎ^4θ）／（１−１０ｔａｎ^2θ＋５ｔａｎ^4θ）＝−１

　　６−２０ｔａｎ^2θ＋６ｔａｎ^4θ＝０

　　ｔａｎ^2θ＝３または１／３，ｃｏｓθ＝√３／２，３０°

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