［定理１］単位円に内接する正ｎ角形のひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの積はｎに等しい．

が成り立つ．

　また，

［定理］単位円に内接する正多角形の対角線の長さの平方和は頂点数の２乗に等しいは

［定理２］単位円に内接する正ｎ角形のひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの平方和は２ｎに等しい．

と同値である．

　この２つの定理を利用して正ｎ角形の作図問題にアプローチしてみたが，

［５］ｎ＝７のとき，辺の長さｘと対角線の長さｙとｚとして，

　　［定理１］→ｘ^2ｙ^2ｚ^2＝７

　　［定理２］→２ｘ^2＋２ｙ^2＋２ｚ^2＝１４

条件が足りないことがわかるだろう．また，２次方程式の範囲内で解けるかどうか，甚だ疑問である．

［６］ｎ＝９のとき，辺の長さｘと対角線の長さｙとｚとｗとして，

　　［定理１］→ｘ^2ｙ^2ｚ^2ｗ^2＝９

　　［定理２］→２ｘ^2＋２ｙ^2＋２ｚ^2＋２ｗ^2＝１６

条件が足りない．２次方程式の範囲内で解けるかどうかも疑問．

　不足の条件を補うには，余弦定理よりもトレミーの定理

　　「円に内接する四角形の相対する辺の長さの積の和＝対角線の積

　　　　　ＡＢ・ＣＤ＋ＡＤ・ＢＣ＝ＡＣ・ＢＤ」

を活用した方が簡単であった．たとえば，正９角形は次の通り簡単にできます．

　３つとびの対角線ｚは円に内接する正三角形の１辺に等しいのでｚ＝√３．ｘ^2ｙ^2ｚ^2ｗ^2＝９から，ｘｙｗ＝√３・・・(1)

２ｘ^2＋２ｙ^2＋２ｚ^2＋２ｗ^2＝１８から，ｘ^2＋ｙ^2＋ｗ^2＝６・・・(2)

　トレミーの定理から多数の（独立でない）条件式がでるが，Ｐ1Ｐ2Ｐ4Ｐ5という内接四角形より，ｘ^2＋ｙｗ＝ｚ^2＝３・・・(3)

(1)を代入してｘ^2＋√３／ｘ＝３，すなわち

　　ｘ^3−３ｘ＋√３＝０

がでます．これは有理数の範囲で因数分解でき素，２次方程式に帰着されないので、定規とコンパスで作図できません．

　なお，ｘ＝２ｓｉｎπ／９＝０．６８４０４０２８６・・・が，ｘ^3−３ｘ＋√３＝０の解であることを確かめました．トレミーの定理から他にも

　　ｘｚ＋ｘ^2＝ｙ^2，ｙ^2＋ｙｚ＝ｗ^2，ｘｙ＋ｘｗ＝ｙｚ＝√３ｙ

などがでますのでｙ，ｗもいろいろ表現できると思います．

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［まとめ］これにくらべ（その１）の「芸者の扇を折り畳む」という解法ではいかにうまく比例関係を利用していることがわかるだろう．

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