（その５０４）以降のやり直し．

　Ａ（０，０，０）

Ｂ（ｅ／２，ｅ√３／２，ａ）

Ｃ（−ｅ／２，ｅ√３／２，２ａ）

Ｄ（０，０，３ａ）

　ｂ^2＝ｅ^2＋ａ^2，ｃ^2＝ｅ^2＋４ａ^2

は最長辺３ａの方向の伸びる正三角柱を構成するものとする．

辺の長さと二面角はそれぞれ

ＡＢ＝ｂ，α　

ＡＣ＝ｃ，π／２

ＡＤ＝３ａ，π／３

ＢＣ＝ｂ，π−２α

ＢＤ＝ｃ，π／２

ＣＤ＝ｂ，α

ｓｉｎα＝ｂ／ｃより，３ａ≧ｃ≧ｂ

　これを最短辺ｂの方向に伸ばすことを考える．

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　ＢＣが二等辺三角形の要の位置に来るようにすればよいことがわかっている．一般の３周期充填ではｂは３等分されないことに注意しながら，ＣがＡの位置に来るように向きを変えると

　Ａ（−ｄｃｏｓα，ｄｓｉｎα，ｂ−ｈ）

Ｂ（０，０，ｂ）

Ｃ（０，０，０）

Ｄ（ｄｃｏｓα，ｄｓｉｎα，ｈ）

と，リパラメトライズできる．

ＡＢ^2＝ｄ^2＋ｈ^2＝ｂ^2

ＡＣ^2＝ｄ^2＋（ｂ−ｈ）^2＝ｃ^2

ＡＤ^2＝４ｄ^2ｃｏｓ^2α＋（ｂ−２ｈ）^2＝９ａ^2

ＢＣ^2＝ｂ^2＝ｂ^2

ＢＤ^2＝ｄ^2＋（ｂ−ｈ）^2＝ｃ^2

ＣＤ^2＝ｄ^2＋ｈ^2＝ｂ^2

が成り立つことが条件である．ｄとｈをａ，ｂ，ｃで表したい．

ｄ^2を消去すると，

（ｂ−ｈ）^2−ｈ^2＝ｃ^2−ｂ^2

ｂ^2−２ｈｂ＝ｃ^2−ｂ^2

ｈ＝（２ｂ^2−ｃ^2）／２ｂ

ｄ^2＝ｂ^2−ｈ^2＝ｂ^2−（２ｂ^2−ｃ^2）^2／４ｂ^2

＝（４ｂ^2ｃ^2−ｃ^4）／４ｂ^2

＝ｃ^2（１−ｃ^2／４ｂ^2）

４ｃ^2（１−ｃ^2／４ｂ^2）（１−ｂ^2／ｃ^2）＋（ｂ−２ｈ）^2＝９ａ^2

ｂ−２ｈ＝（ｃ^2−ｂ^2）／ｂ

４ｃ^2（１−ｃ^2／４ｂ^2）（１−ｂ^2／ｃ^2）＋（ｃ^2−ｂ^2）^2／ｂ^2＝９ａ^2

（４−ｃ^2／ｂ^2）（ｃ^2−ｂ^2）＋（ｃ^2−ｂ^2）^2／ｂ^2＝９ａ^2

（４ｂ^2−ｃ^2）（ｃ^2−ｂ^2）＋（ｃ^2−ｂ^2）^2＝９ａ^2ｂ^2

（３ｂ^2）（ｃ^2−ｂ^2）＝９ａ^2ｂ^2

３（ｃ^2−ｂ^2）＝９ａ^2

ａ，ｂ，ｃの間にこの関係が成り立たなければならない．

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