３次元の場合，３Ａ−３Ｂ＋Ｃ＝０

４次元の場合，４Ａ−６Ｂ＋４Ｃ−Ｄ＝０

５次元の場合，５Ａ−１０Ｂ＋１０Ｃ−５Ｄ＋Ｅ＝０

　これらの正当性を確認する方法はないだろうか？

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　ともあれ公式として成り立っているかどうか調べてみたい．

３次元の場合，（３，１）３−（３，２）・４＋（３，３）３＝０

４次元の場合，（４，１）４−（４，２）６＋（４，３）６−（４，４）４＝０

５次元の場合，（５，１）５−（５，２）８＋（５，３）９−（５，４）８＋（５，５）５＝０

ｎ次元の場合，（ｎ，１）ｎ−（ｎ，２）２（ｎ−１）＋（ｎ，３）３（ｎ−２）−（ｎ，４）４（ｎ−３）＋・・・＋（ｎ，ｎ）ｎ＝０

Σ(1)（−１）^r（ｎ，ｒ）ｒ（ｎ−ｒ＋１）＝０

（ｎ＋１）Σ(1)（−１）^rｒ（ｎ，ｒ）

Σ(1)（−１）^rｒ^2（ｎ，ｒ）

（１＋ｘ）^n＝Σ(0)（ｎ，ｒ）ｘ^r

ｎ（１＋ｘ）^n-1＝Σ(0)ｒ（ｎ，ｒ）ｘ^r-1

ｎ（ｎ−１）（１＋ｘ）^n-2＝Σ(1)ｒ（ｒ−１）（ｎ，ｒ）ｘ^r-2

ｘ＝−１を代入すると

０＝Σ(1)ｒ（ｒ−１）（ｎ，ｒ）（−１）^r

Σ(1)ｒ^2（ｎ，ｒ）（−１）^r＝Σ(1)ｒ（ｎ，ｒ）（−１）^r

岩波公式集よりΣ(1)ｒ（ｎ，ｒ）（−１）^r＝０

したがって，

Σ(1)ｒ^2（ｎ，ｒ）（−１）^r＝０

（ｎ＋１）Σ(1)（−１）^rｒ（ｎ，ｒ）＝０

Σ(1)（−１）^r（ｎ，ｒ）ｒ（ｎ−ｒ＋１）＝０

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