正三角柱充填が可能であるためには，

　　３（ｃ^2−ｂ^2）＝ａ^2

が成り立つ必要がある．

　高次元の場合はどうなるのだろうか？　アフィン変換を考えればよいので

　　Ａ＝ａ^2＝ｎ

　　Ｂ＝ｂ^2＝２（ｎ−１）

　　Ｃ＝ｃ^2＝３（ｎ−２）

　　Ｄ＝ｄ^2＝４（ｎ−３）

　　Ｅ＝ｅ^2＝５（ｎ−４）

のケースだけ扱えばよい．

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【１】３次元の場合

　まずｎを消去する．

　ｎ＝Ａ＝（Ｂ＋２）／２＝（Ｃ＋６）／３

３！をかけると

　６Ａ＝３（Ｂ＋２）＝２（Ｃ＋６）

　次に，定数を消去する

　（６Ａ−３Ｂ）／６＝（６Ａ−２Ｃ）／１２

　（２Ａ−Ｂ）／２＝（３Ａ−Ｃ）／６

　３（２Ａ−Ｂ）＝（３Ａ−Ｃ）

　３Ａ＝３Ｂ−Ｃ

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【２】４次元の場合

　ｎ＝Ａ＝（Ｂ＋２）／２＝（Ｃ＋６）／３＝（Ｄ＋１２）／４

４！をかけると

　２４Ａ＝１２（Ｂ＋２）＝８（Ｃ＋６）＝６（Ｄ＋１２）

（２４Ａ−１２Ｂ）／２４＝（２４Ａ−８Ｃ）／４８＝（２４Ａ−６Ｄ）／７２

（２Ａ−Ｂ）／２＝（３Ａ−Ｃ）／６＝（４Ａ−Ｄ）／１２

６（２Ａ−Ｂ）＝２（３Ａ−Ｃ）＝（４Ａ−Ｄ）

　これから同次型は一意に求められるだろうか？

６Ａ＝６Ｂ−２Ｃ

２Ａ＝２Ｃ−Ｄ

このまま辺々を引けば

４Ａ＝６Ｂ−４Ｃ＋Ｄ

となって，パスカルの三角形の係数が得られる．

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