カージオイドは，定木とコンパスを使って，２通りの方法

［１］尖点を中心とする円を使った任意等分

［２］固定円の同心円を使った任意等分

が等分可能ですが，内サイクロイドや外サイクロイドは，尖点を中心とする円を使って任意等分できません．

　一方，双葉曲線族：ｒ^n/2＝ｃｏｓ（ｎθ／２）

ではｎの値によって，原点点を中心とする円を使った等分可能性が異なってきます．

　ｎ＝２の場合が円，ｎ＝４の場合がレムニスケートで，この曲線族に属する．ｎ＝１の場合，曲線

　　ｒ^(1/2)＝ｃｏｓ（１／２・θ）

　　ｒ＝ｃｏｓ^2（１／２・θ）＝（１＋ｃｏｓθ）／２

はカージオイドとなる．

　双葉曲線族は，弧長が

∫(0,x)1/(1-x^n)^(1/2)dt

で与えられる曲線で，

　　∫(0,1)1/(1-x^1)^(1/2)dx=２

　　∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π／２

は初等的にも得ることができます．一方，

　　∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π

　　∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

は，特別な数と楕円積分を関係づけるものになっています．

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［まとめ］カージオイドは，サイクロイド族かつ双葉曲線族であるため，２通りの方法

［１］尖点を中心とする円を使った任意等分

［２］固定円の同心円を使った任意等分

が等分可能となるのである．

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