【１】周期３はカオスを意味する（リー・ヨークの定理）

　１９７６年，アメリカの物理学者ファイゲンバウムは奇妙ではあるが魅力的な考えを，反復関数

　　ｘ，ｆ（ｘ），ｆ（ｆ（ｘ）），ｆ（ｆ（ｆ（ｘ））），・・・

に基づいて発展させ，ｆ（ｘ）が２次式になると，漸化式

　　ｘn+1 ＝ｆ（ｘn ）

の挙動は極めて複雑になることを指摘しました．たとえば，

　　ｆ（ｘ）＝ｋｘ（１−ｘ）　　　（０＜ｋ≦４）

の形の漸化式はｋの値によって漸近挙動が全く異なったものになり，カオスと呼ばれる現象を引き起こします．

　　ｘn+1 ＝ｆ（ｘn ）＝ｋｘn （１−ｘn ）

ｘn が０と１の間の値をもつものと考えると，この式は人口増加のロジスティックモデルとなります．すなわち，ｘは人口増加，（１−ｘ）はそれに歯止めをかける傾向を反映する因子です．ここで，

ａ）０≦ｋ≦１なら，ｘn の値は初期値ｘ0 にかかわらず０に近づく．</P>

ｂ）１＜ｋ≦３なら，ｘn の値は初期値ｘ0 にかかわらず固定点（ｋ−１）／ｋに近づく．

ｃ）３＜ｋ≦３．５６９９５ならば２^n個の極限値の間を振動する．

　　i)３＜ｋ＜３．４４（＝１＋√６）ならば２つの極限値の間を振動する（周期２のサイクル）．

　　ii)３．４４＜ｋ＜３．５４ならば４つの極限値の間を振動する（周期４のサイクル）．

　　iii)３．５４＜ｋ＜３．５６４ならば８つの極限値の間を振動する（周期８のサイクル）．

　　iv)３．５６４＜ｋ＜３．５６６ならば１６の極限値の間を振動する（周期１６のサイクル）．

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・</P>

４）ｋ＞３．５６９９５（ファイゲンバウム点）のときには挙動はひどく複雑になり，周期的なのか，周期的とすればその周期はいくつかなどはわからないほどでたらめに荒々しく揺れ動くようになります．このような状態がカオスですが，カオスでは最終の人口増加が全く予測できないだけでなく，初期値の選び方に非常に大きく依存します．

　ところが，ｋの値の所々で単純な周期変動が現れ，たとえば，ｋ＝１＋２√２のとき周期が３，すなわち３つの極限値の間を振動します．リーとヨークは周期長３が観測されることはすべての可能な周期が現れることを示しています．

Li, Yorke: Period Three Implies Chaos, American Mathematical Monthly 82, 985-992, 1975

　以上のことはパソコンでも簡単に確認できます．ロジスティックモデルでは時間を不連続にした体系（力学系）に限って取り扱いましたが，連続にしてもわずかだけつけ加えればこと足ります．

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