ｘ^y−ｙ^xについて，

　　４^2−２^4＝０　　（唯一）

　　３^2−２^3＝１　　（唯一）

であることが示されている．

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［１］カタラン予想（１８４４年）．

　ｘ^m−ｙ^n＝１は（ｘ，ｙ，ｍ，ｎ）＝（３，２，２，３）以外には解をもたない．

［２］レヴェックはｘ，ｙを固定したとき，解はあってもひとつであることを示した（１９５２年）．

［３］キャッセルズは連続した３つの累乗数は存在しないことを示した．

［４］ｍ，ｎを固定したとき解は有限個であることはわかっていて，ティードマンはｙ^n＜ｘ^m＜Ｃを満たす定数Ｃが存在することを示した．

［５］そして，カタラン予想は肯定的に解決された．

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［おまけ］ｘ^y＋ｙ^x＋ｘ・ｙ＝１０ｘ＋ｙを満たす（ｘ，ｙ）

　　（２，３）→２^3＋３^2＋２・３＝２３

　　（１，９）→１^9＋９^1＋１・９＝１９

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