√２は無理数である

　　√２^√２は無理数である

　　２^√２＝２．６６５１４４１４２６・・・

は無理数（超越数）である．このことはゲルフォント・シュナイダーの定理「ａは０でも１でもない代数的数，ｂは代数的無理数ならば，ａ^bは超越数である」からいえる．

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　関数ｆ（ｘ）＝ｘ^（ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^・・・）は区間［ｅｘｐ（−ｅ），ｅｘｐ（１／ｅ）］で定義されることをオイラーが示した．

ｅｘｐ（−ｅ）＝０．０６５９８８０３５８４・・・＜１

ｅｘｐ（１／ｅ）＝１．４４４６６７８６１００＞√２＞１

　　ｘ^m＝ｍ，ｍｌｏｇｘ＝ｌｏｇｍ

　したがって，最大値ｍは

ｘ＝ｅｘｐ（１／ｅ）より，ｍ／ｅ＝ｌｏｇｍを満たすｍということになる．

　一方，最小値ｍは

ｘ＝ｅｘｐ（−ｅ）より，−ｍｅ＝ｌｏｇｍを満たすｍではないと思われるが・・・

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