正四面体は空間充填図形ではないので，ヒルの直角錘（長さが１，√２，√３の辺が各３，２，１本）やサマーヴィルの等面四面体（長さが２：√３の辺が各２，４本）を使って，自己複製体を作る．

［Ｑ］マッチ棒を６本使って空間充填四面体を１個作る．それにマッチ棒を継ぎ足して空間充填四面体を８個を作る．さらにマッチ棒を継ぎ足して空間充填四面体を２７個作る．以下，Ｎ^3個の空間充填四面体を作るものとして，何本のマッチ棒が必要か？

［Ａ］特定の方向のマッチ棒は�狽求iｋ＋１）／２＝１＋３＋６＋・・・＋＝Ｎ（Ｎ＋１）（Ｎ＋２）／６本，全部で６方向あるから計Ｎ（Ｎ＋１）（Ｎ＋２）本．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ところで，Ｎ（Ｎ＋１）／２は三角数，

�狽求iｋ＋１）／２＝１＋３＋６＋・・・

＝１／２｛Σｋ^2＋Σｋ｝

＝Ｎ（Ｎ＋１）（２Ｎ＋１）／１２＋Ｎ（Ｎ＋１）／４

＝Ｎ（Ｎ＋１）／１２・｛２Ｎ＋１＋３｝

＝Ｎ（Ｎ＋１）（Ｎ＋２）／６＝Ｎ（Ｎ＋１）（Ｎ＋２）／３！

は四面体数である．

　さらに，４次元５胞体数は

�狽求iｋ＋１）（ｋ＋２）／６

＝１／６｛Σｋ^3＋Σ３ｋ^2＋２Σｋ｝

＝Ｎ^2（Ｎ＋１）^2／２４＋Ｎ（Ｎ＋１）（２Ｎ＋１）／１２＋Ｎ（Ｎ＋１）／６

＝Ｎ（Ｎ＋１）／２４・｛Ｎ（Ｎ＋１）＋２（２Ｎ＋１）＋４｝

＝Ｎ（Ｎ＋１）／２４・｛Ｎ^2＋５Ｎ＋６｝

＝Ｎ（Ｎ＋１）（Ｎ＋２）（Ｎ＋３）／２４＝Ｎ（Ｎ＋１）（Ｎ＋２）（Ｎ＋３）／４！

となる．

　ハーレーの論文の高さ公式

　　τ／ｌ＝（６／ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２））^1/2

と四面体数は関係していないだろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝