［Ｑ］関数方程式

　　ｆ（ｘ）＝√（１＋ｘ√｛１＋（ｘ＋１）√｛１＋（ｖ＋２）＋・・・｝｝｝

［Ａ］ｆ（ｘ）^2＝１＋（ｘ＋１）ｆ（ｘ＋１）を満たす．

　　→めのこで（ｘ＋１）^2＝１＋ｘ（ｘ＋２）

　　→ｆ（ｘ）＝ｘ＋１

　ｘを特定の数とする．たとえば，ｘ＝２

　　√（１＋２√｛１＋３√｛１＋・・・｝｝｝＝３

　今回のコラムでは，関数方程式

　　ｆ（１／ｘ）＝Ｃｘ^ｰDｆ（ｘ），Ｃは定数，Ｄは重みと呼ばれる

について調べてみます．

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［１］ｆ（ｘ）＝１／（ｘ−１）

　ｆ（１／ｘ）＝１／（ｘ^-1−１）＝ｘ／（１−ｘ）＝−ｘｆ（ｘ）

Ｃ＝−１，Ｄ＝−１

　すなわち，重さ−１の絶対保型形式となる．

［２］ｆ（ｘ）＝ｘ^2／（ｘ^2−１）

　ｆ（１／ｘ）＝ｘ^-2／（ｘ^-2−１）＝１／（１−ｘ^2）＝−ｘ^-2ｆ（ｘ）

Ｃ＝−１，Ｄ＝２

　すなわち，重さ２の絶対保型形式となる．

［３］ｆ（ｘ）＝（２ｇ−２）（ｘ^2＋ｘ）／（ｘ−１）^2

　ｆ（１／ｘ）＝（２ｇ−２）（ｘ^-2＋ｘ^-1）／（ｘ^-1−１）^2＝（２ｇ−２）（ｘ＋１）／（ｘ−１）^2＝ｘ^-1ｆ（ｘ）

Ｃ＝１，Ｄ＝１

　すなわち，重さ１の絶対保型形式となる．

［４］ｆ（ｘ）＝ｘ^3／（ｘ−１）^3

　ｆ（１／ｘ）＝ｘ^-3／（ｘ^-1−１）^3＝−１／（ｘ−１）^3＝−ｘ^-3ｆ（ｘ）

Ｃ＝−１，Ｄ＝３

　すなわち，重さ３の絶対保型形式となる．

［５］ｆ（ｘ）＝ｘ^1-N・（ｘ^N−１）^2／（ｘ−１）＝ｘ^1/2・（ｘ^N/2−ｘ^-N/2）^2／（ｘ^1/2−ｘ^-1/2）

　ｆ（１／ｘ）＝ｘ^-1/2・（ｘ^-N/2−ｘ^N/2１）^2／（ｘ^-1/2−ｘ^1/2）

＝−ｘ^-1ｆ（ｘ）

Ｃ＝−１，Ｄ＝１

　すなわち，重さ１の絶対保型形式となる．

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