ｍ^2＝２ｎ^2＋２ｎ＋１

　（１２ｍ＋１７ｎ＋ａ）^2＋（１２ｍ＋１７ｎ＋ａ＋１）^2＝（１７ｍ＋２４ｎ＋ｂ）^2

では成立するだろうか？

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左辺＝（１２ｍ＋１７ｎ）^2＋２ａ（１２ｍ＋１７ｎ）＋ａ^2＋（１２ｍ＋１７ｎ）^2＋２（ａ＋１）（１２ｍ＋１７ｎ）＋（ａ＋１）^2

＝２（１２ｍ＋１７ｎ）^2＋（４ａ＋２）（１２ｍ＋１７ｎ）＋２ａ^2＋２ａ＋１

右辺＝（１７ｍ＋２４ｎ）^2＋２ｂ（１７ｍ＋２４ｎ）＋ｂ^2

左辺−右辺＝−ｍ^2＋２ｎ^2＋（４８ａ＋２４−３４ｂ）ｍ＋（６８ａ＋３４−４８ｂ）ｎ＋２ａ^2＋２ａ＋１−ｂ^2

＝（４８ａ＋２４−３４ｂ）ｍ＋（６８ａ＋３２−４８ｂ）ｎ＋２ａ^2＋２ａ−ｂ^2

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４８ａ−３４ｂ＝−２４

６８ａ−４８ｂ＝−３２

１６３２ａ−１１５６ｂ＝−８１６

１６３２ａ−１１５２ｂ＝−７６８

−４ｂ＝−４８，ｂ＝１２，ａ＝８

２ａ^2＋２ａ−ｂ^2＝１２８＋１６−１４４＝０

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［まとめ］ｍ^2＝２ｎ^2＋２ｎ＋１のとき，

　（１２ｍ＋１７ｎ＋８）^2＋（１２ｍ＋１７ｎ＋９）^2＝（１７ｍ＋２４ｎ＋１２）^2

が成立する．これらの恒等式はひとつ置きにうまくいくようである．

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