ｍ^2＝２ｎ^2＋２ｎ＋１が成立すれば，

　　（２ｍ＋３ｎ＋１）^2＋（２ｍ＋３ｎ＋２）^2＝（３ｍ＋４ｎ＋２）^2

も成立する．

（証）

左辺＝４ｍ^2＋９ｎ^2＋１＋１２ｍｎ＋４ｍ＋６ｎ＋（４ｍ^2＋９ｎ^2＋４＋１２ｍｎ＋８ｍ＋１２ｎ）

＝８ｍ^2＋１８ｎ^2＋５＋２４ｍｎ＋１２ｍ＋１８ｎ

右辺＝９ｍ^2＋１６ｎ^2＋４＋２４ｍｎ＋１２ｍ＋１６ｎ

左辺−右辺＝−ｍ^2＋２ｎ^2＋１＋２ｎ＝０

　これ以外に解はないのだろうか？

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　　（２ｍ＋３ｎ＋ａ）^2＋（２ｍ＋３ｎ＋ａ＋１）^2＝（３ｍ＋４ｎ＋ｂ）^2

左辺＝（２ｍ＋３ｎ）^2＋２ａ（２ｍ＋３ｎ）＋ａ^2＋（２ｍ＋３ｎ）^2＋２（ａ＋１）（２ｍ＋３ｎ）＋（ａ＋１）^2

＝２（２ｍ＋３ｎ）^2＋（４ａ＋２）（２ｍ＋３ｎ）＋２ａ^2＋２ａ＋１

右辺＝（３ｍ＋４ｎ）^2＋２ｂ（３ｍ＋４ｎ）＋ｂ^2

左辺−右辺＝−ｍ^2＋２ｎ^2＋（８ａ＋４−６ｂ）ｍ＋（１２ａ＋６−８ｂ）ｎ＋２ａ^2＋２ａ＋１−ｂ^2

＝（８ａ＋４−６ｂ）ｍ＋（１２ａ＋４−８ｂ）ｎ＋２ａ^2＋２ａ−ｂ^2

８ａ−６ｂ＝−４

１２ａ−８ｂ＝−４

２４ａ−１８ｂ＝−１２

２４ａ−１６ｂ＝−８

−２ｂ＝−４，ｂ＝２，ａ＝１

２ａ^2＋２ａ−ｂ^2＝０　　　（ＯＫ）

　　（２ｍ＋３ｎ＋１）^2＋（２ｍ＋３ｎ＋２）^2＝（３ｍ＋４ｎ＋２）^2

これ以外に解はない．

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