ｎ^2＋（ｎ＋１）^2＝ｍ^2

　ｍ^2＝２ｎ^2＋２ｎ＋１が成立すれば，

　　（２ｍ＋３ｎ＋１）^2＋（２ｍ＋３ｎ＋２）^2＝（３ｍ＋４ｎ＋２）

も成立する．

　（その２０）の結果も同様に書けないだろうか？

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　　ａ＝２ｐｑ，ｂ＝ｑ^2−ｐ^2，ｃ＝ｐ^2＋q^2，ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2

　　（２ｐｑ）^2＋（ｑ^2−ｐ^2）^2＝（ｐ^2＋q^2）^2

　ここで，｜ａ−ｂ｜＝１とします．

　　ｑ^2−ｐ^2−２ｐｑ＝±１

　このとき，ｐをｑ，ｑをｐ＋２ｑで置き換えて得られる三角形も斜辺を除く２辺の長さの差が１のピタゴラス三角形になっています．

（証）条件より

　　ｑ^2−ｐ^2−２ｐｑ＝±１

　　ａ’＝２ｑ（ｐ＋２ｑ）＝２ｐｑ＋４ｑ^2，

　　ｂ’＝（ｐ＋２ｑ）^2−ｑ^2＝ｐ^2＋４ｐｑ＋３ｑ^2

　　ｃ’＝ｑ^2＋（ｐ＋２ｑ）^2＝ｐ^2＋４ｐｑ＋５ｑ^2

　　ａ’−ｂ’＝−２ｐｑ＋ｑ^2−ｐ^2＝±１

　　ａ’^2＋ｂ’^2＝（２ｐｑ＋４ｑ^2）^2＋（ｃ’−２ｑ^2）^2

＝４ｑ^2（ｐ＋２ｑ）^2＋ｃ’^2−４ｑ^2ｃ’＋４ｑ^4

＝４ｑ^2｛（ｐ＋２ｑ）^2＋ｑ^2−ｐ^2−４ｐｑ−５ｑ^2｝＋ｃ’^2

＝ｃ’^2

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　　ｑ^2−ｐ^2−２ｐｑ＝±１が成立すれば

　　（２ｐｑ＋４ｑ^2）^2＋（ｐ^2＋４ｐｑ＋３ｑ^2）^2＝（ｐ^2＋４ｐｑ＋５ｑ^2）^2

も成立する．

　しかし，思ったほど簡単にはならなかった．

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