ｎ^3＋（ｎ＋１）^3＝ｍ^2

すなわち，連続した立方数の和に等しい平方数は（ｎ，ｍ）＝（１，３）ただひとつである．

　それでは，連続した平方数の和に等しい平方数はどうだろうか？

　　ｎ^2＋（ｎ＋１）^2＝ｍ^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ｍ^2＝２ｎ^2＋２ｎ＋１が成立すれば，

　　（２ｍ＋３ｎ＋１）^2＋（２ｍ＋３ｎ＋２）^2＝（３ｍ＋４ｎ＋２）

も成立する．

（証）

左辺＝４ｍ^2＋９ｎ^2＋１＋１２ｍｎ＋４ｍ＋６ｎ＋（４ｍ^2＋９ｎ^2＋４＋１２ｍｎ＋８ｍ＋１２ｎ）

＝８ｍ^2＋１８ｎ^2＋５＋２４ｍｎ＋１２ｍ＋１８ｎ

右辺＝９ｍ^2＋１６ｎ^2＋４＋２４ｍｎ＋１２ｍ＋１６ｎ

左辺−右辺＝−ｍ^2＋２ｎ^2＋１＋２ｎ＝０

　したがって，（ｎ，ｍ）がひとつ得られれば，芋づる式に無数に解が得られることになる．

　　２０^2＋２１^2＝２９^2

　　１１９^2＋１２０^2＝１６９^2

　　６９６^2＋６９７^2＝９８５^2

　　４０５９^2＋４０６０^2＝５７４１^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝