■マルコフ方程式の話(その26)
x^2+y^2+z^2=2xyz+2の解(n,n+1,z)が
(x+√(x^2−1))(y+√(y^2−1))=(z+√(z^2−1))
を満たすと仮定して
z^2−2n(n+1)z+2n^2+2n−1=0
z=2n^2+2n−1
としている.
ここで,
Z=z−xy,X=x,Y=y
とおくと,
(X^2−1)(Y^2−1)=(Z^2−1)
を満たすことは確かめられる.
変数をひとつ増やしてみると
x^2+y^2+z^2+w^2=2xyzw+2
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[1]w=1とおくと
x^2+y^2+z^2=2xyz+1
に対して,Z=z−xy,X=x,Y=yとおけば,
(X^2−1)(Y^2−1)=Z^2
が得られる.
(z−xy)^2=(x^2−1)(y^2−1)
[2]これを参考にすると
x^2+y^2+z^2+w^2=2xyzw+2
は
(w−xyz)^2=(x^2−1)(y^2z^2−1)+(y^2−1)(z^2−1)
と変形できることが示される.
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