■マルコフ方程式の話(その26)

  x^2+y^2+z^2=2xyz+2の解(n,n+1,z)が

 (x+√(x^2−1))(y+√(y^2−1))=(z+√(z^2−1))

を満たすと仮定して

  z^2−2n(n+1)z+2n^2+2n−1=0

  z=2n^2+2n−1

としている.

 ここで,

  Z=z−xy,X=x,Y=y

とおくと,

 (X^2−1)(Y^2−1)=(Z^2−1)

を満たすことは確かめられる.

 変数をひとつ増やしてみると

  x^2+y^2+z^2+w^2=2xyzw+2

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[1]w=1とおくと

  x^2+y^2+z^2=2xyz+1

に対して,Z=z−xy,X=x,Y=yとおけば,

 (X^2−1)(Y^2−1)=Z^2

が得られる.

  (z−xy)^2=(x^2−1)(y^2−1)

[2]これを参考にすると

  x^2+y^2+z^2+w^2=2xyzw+2

  (w−xyz)^2=(x^2−1)(y^2z^2−1)+(y^2−1)(z^2−1)

と変形できることが示される.

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